¿Tiene una función continua y periódica tienen un período más pequeño?

Question

Deje $D\subset\mathbb R$ y deje $T\in(0,+\infty)$. Una función de $f\colon D\longrightarrow\mathbb R$ se llama a una función periódica con período de $T$ si, para cada una de las $x\in D$, $x+T\in D$ e $f(x+T)=f(x)$.

Si $D\subset\mathbb R$ e $f\colon D\longrightarrow\mathbb R$ es continua y periódica, debe ser, entre todos los períodos de la $f$, un mínimo de uno?

Preguntas como esta se han publicado aquí antes, pero en cada caso, según lo que puedo ver, el dominio de $f$ se $\mathbb R$, lo que implica que el conjunto de $P$ de los períodos, junto con $0$ e $-P$, es un subgrupo de $(\mathbb{R},+)$. Usando que (junto con la continuidad), es fácil ver que un periodo mínimo debe existir de hecho. Pero no sé si es cierto o no, en el caso general.

Answer 1

Esto tiene el aire de la explotación de un agujero a la izquierda en la cuestión de los parámetros, pero aquí viene.

Vamos $D=\{0\}\cup(1,\infty)$ y deje $f(x)$ ser una función constante. A continuación, $T$ será un punto si y sólo si $T+D\subseteq D$. En particular:

• cada $T>1$ es un período, pero
• $T=1$ no es un período (y no puede ser más pequeños periodos de $\le 1$),
• así que no hay más pequeño periodo de tiempo.