Probabilidad de que exactamente 2 bolas sean blancas

Question

Lo que hice.

Dejo que $X$ sea el número de retiradas antes de $x$ bolas blancas. Podemos llamar a nuestro éxito en este caso para ser gettin una bola blanca y la probabilidad es por supuesto $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Así que vemos $X$ es una v.r. binomial negativa con $n=4$ ensayos. Así que,

$$ P(X=2) = { 4 - 1 \choose 2 - 1} \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{1}{2} \right)^2 $$

Lo que da

$$ P(X=2) = \boxed{\dfrac{3}{16} }$$

¿Estoy interpretando el problema correctamente?

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que tenemos un número finito de ensayos, $n = 4 ($ Aunque el juego es eterno, sólo nos preocupa la primera $4$ bolas. $)$ Cada ensayo es un ensayo Bernoulli, es decir, cada ensayo tiene sólo uno de dos resultados: blanco y no blanco. Defina un éxito como el suceso de que se saque una bola blanca. Entonces la probabilidad de éxito $p$ es $p =\dfrac{1}{2}$ . Dado que cada bola se sustituye después de ser extraída, tenemos un muestreo con reemplazo, y por lo tanto, independencia.

Como se trata de un número finito de ensayos Bernoulli independientes con una probabilidad de éxito constante $p$ utilizamos la distribución binomial

Dejemos que $X$ sea el número de bolas blancas (aciertos) que aparecen en $n = 4$ ensayos. Entonces queremos encontrar $P(X=2)$

$$P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Entonces, $$P(X=2)=\dbinom42\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^{4-2}$$ $$=\dbinom42\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$$ $$=\dfrac38=0.375$$

Answer 2

Por lo que entiendo su solución, está calculando la probabilidad de que se necesite $4$ sorteos para conseguir $2$ blanco. Esto no es lo que la pregunta pedía.

Debería utilizar simplemente la distribución binomial, y la respuesta es $\frac{6}{16}=\frac38$ .

Answer 3

$P(2W|4) = \binom{4}{2}\cdot (\frac{1}{2})^4$

$ = 6\cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{8}$