Aprendí que una estadística es un atributo que se puede obtener a partir de muestras. Tomando muchas muestras del mismo tamaño, calculando este atributo para todas ellas y trazando la función de densidad de probabilidad, obtenemos la distribución del atributo correspondiente o la distribución de la estadística correspondiente.
También escuché que las estadísticas están hechas para ser estimadores, ¿en qué se diferencian estos dos conceptos?
De Wikipedia:
Un estadístico [...] es una medida única de algún atributo de una muestra (por ejemplo, su valor medio aritmético).
Y
Un estimador es una regla para calcular una estimación de una cantidad dada [de la distribución subyacente] basada en datos observados.
La diferencia importante es:
Para lo que significa "Cantidad", vea la sección abajo. Es simplemente una función de la distribución.
Un estimador es un estadístico con algo añadido. Para convertir un estadístico en un estimador, simplemente se especifica qué cantidad deseas estimar. Esto puede ser confuso, porque no estás añadiendo nada "real" al estadístico, solo alguna intención.
Para ver que la diferencia es importante, debes darte cuenta de que no puedes calcular las propiedades de un estimador (por ejemplo, sesgo, varianza, etc.) para un mero estadístico. Para calcular el sesgo, debes encontrar la diferencia entre el valor que te da tu estadístico y el valor verdadero. Solo un estimador viene con un "valor verdadero" que permite calcular un sesgo. Un estadístico es simplemente una función de los datos, y no es ni correcto ni incorrecto.
Puedes especificar diferentes cantidades objetivo para el mismo estadístico, resultando en diferentes estimadores. Cada estimador tiene su propio sesgo, aunque todos ellos son (basados en) el mismo valor, el mismo estadístico.
Por lo tanto, decir "la media de la muestra es no sesgada" no tiene sentido. La media de la muestra es no sesgada cuando la usas para estimar la media de la distribución. Pero al mismo tiempo esta sesgada cuando la usas para estimar la varianza de la distribución.
Una cantidad es una función de la distribución. Si solo tienes una distribución única, y no una clase, entonces la cantidad es un único valor (el dominio de la función tiene un elemento).
Aquí cantidad se refiere a alguna propiedad de la distribución, que usualmente es desconocida y por lo tanto debe ser estimada. Esto contrasta con un estadístico, que es una propiedad de una muestra, por ejemplo, la media de la distribución es una cantidad de tu distribución, mientras que la media de la muestra es un estadístico (una cantidad de tu muestra).
No hay nada claramente incorrecto con estas citas, pero me dejan desconcertado sobre lo que se entiende exactamente por "cantidad". Por ejemplo, las citas no parecen descartar la posibilidad de que una "cantidad" sea otra estadística basada en los mismos datos o tal vez sea otra estadística basada en un conjunto separado de datos similares. (En este último caso, la primera estadística podría utilizarse como un predictor. En el primer caso no creo que haya un nombre para ello, pero definitivamente no es "estimador.")
Presumiblemente, la media de la muestra y la mediana de la muestra solo estimarán el mismo valor subyacente si la distribución es una en la que mediana = media...
Este hilo es un poco antiguo, pero parece que Wikipedia puede haber cambiado su definición y, si es precisa, me resulta más clara:
Un "estimador" o "estimación puntual" es una estadística (es decir, una función de los datos) que se utiliza para inferir el valor de un parámetro desconocido en un modelo estadístico.
Por lo tanto, una estadística se refiere a los propios datos y a un cálculo con esos datos. Mientras que un estimador se refiere a un parámetro en un modelo.
Si lo entiendo correctamente, entonces, la media es una estadística y también puede ser un estimador. La media de una muestra es una estadística (suma de la muestra dividida por el tamaño de la muestra). La media de una muestra también es un estimador de la media de la población, suponiendo que está normalmente distribuida.
Le preguntaría a @whuber y a otros que realmente conocen este tema si la cita de Wikipedia (¿nueva?) es precisa.
+1 Creo que lo tienes básicamente correcto. Podría interesarte saber que el objetivo de un estimador no tiene que ser necesariamente un "parámetro" específico de un modelo: puede ser cualquier propiedad del modelo, como una función de sus parámetros. Por ejemplo, μ2 no es un parámetro para un modelo Normal(μ,σ2), pero se puede estimar.
Interesante pregunta. Los estimadores y las estadísticas no necesariamente son cosas diferentes, aunque son conceptos distintos.
Una estadística es una función (en términos generales) en la que la entrada es un conjunto de datos (estadísticos). El resultado es que obtienes un resultado, por lo general un número, a partir de esta estadística. En un sentido más abstracto, una estadística puede generar más de un número. La estadística depende de los datos, pero el procedimiento es determinístico. Por lo tanto, la estadística puede ser: "Sumar todos los números y dividir entre la cantidad" o, en un sentido más amplio, "tomar los datos del PIB y preparar un informe al respecto".
En el sentido estadístico, por supuesto, estamos hablando de una función matemática como estadística.
La importancia de esto es que si conoces las propiedades de los datos que introduces (por ejemplo, que se trate de una variable aleatoria), entonces puedes calcular las propiedades de tu estadística, sin necesidad de introducir datos empíricos.
Los estimadores son estimadores debido a tu intención: estimar una propiedad. Resulta que algunas estadísticas son buenos estimadores.
Por ejemplo, si extraes puntos de datos de un grupo de variables i.i.d., entonces la media aritmética - una estadística basada en los datos que extraes, probablemente sea un buen estimador para el valor esperado de esa distribución. Pero, nuevamente, cualquier cosa que produzca una estimación es un estimador.
En la práctica, los estimadores que utilices serán estadísticas, pero hay estadísticas que no son estimadores. Por ejemplo, las estadísticas de prueba, aunque se pueda discutir sobre la semántica de esta afirmación y para complicar más las cosas, una estadística de prueba puede no solo ser sino también incluir estimadores. Aunque conceptualmente no tiene por qué ser así.
Y por supuesto, puedes tener estimadores que no sean estadísticas, aunque probablemente no sean muy buenos para estimar.
¿Podrías elaborar un poco en esa última oración? Por ejemplo, considera una muestra i.i.d. de tamaño 2n. Estimaré la mediana de la población usando un volado para elegir entre el n-ésimo y n+1-ésimo valores más grandes en la muestra. Según tu definición, esto no es una estadística, porque no es un procedimiento "determinístico" (aunque es una estadística según una definición más general común). También es un estimador bastante bueno. Así que me pregunto qué tipo de objeto tienes en mente cuando te refieres a un "estimador" que no es una "estadística".
Sí, argumentaría que "elegir un valor" es la estadística determinística y todo lo anterior está relacionado con la modificación de la muestra que elegiste. Pero de nuevo, ya que el "procedimiento", por decirlo de alguna manera, es determinístico, puedo permitir elementos estocásticos como este en mi definición de estadística... El punto es que los estimadores que no son una estadística podrían ser al menos aquellos que son independientes de cualquier dato. Por ejemplo, el número "6" en la respuesta a continuación. Por favor, ten en cuenta que no dije que los estimadores no estadísticos son necesariamente malos.
Pienso que quizás estás haciendo demasiadas distinciones finas que son innecesarias y, al final, complican tu exposición. Por ejemplo, "1/2" es un gran estimador del parámetro de una variable de Bernoulli (es minimax para la pérdida cuadrática), así que sería una lástima descartarlo solo porque es independiente de los datos. (Eso sería análogo a descartar los cuadrados como ejemplos de rectángulos en geometría euclidiana: podrías hacerlo, pero entonces duplicarías las longitudes de la mayoría de las declaraciones sobre propiedades de los rectángulos). De manera similar, también ayuda no descartar las estadísticas aleatorias.
Creo que una mejor comprensión de lo que es una muestra ayuda.
[Actualizado: La muestra es un concepto muy amplio, me refería a "la muestra aleatoria". No sé si tiene sentido un estimador cuando la muestra no es aleatoria.]
de wikipedia:
Una muestra aleatoria se define como una muestra en la que cada miembro individual de la población tiene una probabilidad conocida y no nula de ser seleccionado como parte de la muestra.
Un estimador es una función de una muestra. Una muestra es en realidad un conjunto de (digamos, n) variables aleatorias i.i.d. Eso significa que un estimador también es una función de variables aleatorias. Un estimador define una medida, pero no los valores de una medición real. Pero podemos llamarlo, "la regla para estimar una cantidad dada basada en datos observados." Porque basándonos en n experimentos específicos, podemos tener n valores específicos para las n variables aleatorias i.i.d. Y obtenemos un valor específico de la muestra de tamaño n.
Reemplazamos la muestra en el estimador por el valor de la muestra. Obtenemos un valor del estimador, esto es una medida específica. Y esta medida específica es una estadística.
(Revise este enlace para la definición de un estimador, la última oración revela por qué siempre estamos confundidos.)
En pruebas de hipótesis :
Un estadístico de prueba se trata de pruebas de hipótesis. Un estadístico de prueba es una variable aleatoria dada/bajo la hipótesis nula. Ahora, algunos pueden llamar a un estadístico el valor/medida del estadístico de prueba dado la muestra.
Con estos dos puedes obtener el valor p que es una medida que ayuda a rechazar o no rechazar la hipótesis nula. En resumen, un estadístico es una estimación de qué tan lejos/cerca está de tu hipótesis.
Este enlace puede ser útil.
Pareces estar abordando una pregunta diferente, algo relacionado con pruebas de hipótesis en lugar de estimación. Tu definición de "estadística" es mucho más restrictiva en alcance que las definiciones estándar: las estadísticas se aplican a todas las formas de toma de decisiones, no solo a los casos muy limitados de pruebas de hipótesis y hipótesis nulas. Además, las pruebas de hipótesis no son lo mismo que los estimadores y la mayoría de las estadísticas no se utilizan como estimadores de la cercanía a alguna hipótesis.
No diría que es una pregunta diferente. ¡Da una idea de lo que es en el contexto de al menos la prueba de hipótesis!
Porque esta respuesta se centra en una versión limitada y especializada de la pregunta y utiliza los términos clave "estimador" y "estadística" de manera poco convencional, sin alertar al lector de ese hecho, me preocupa que pueda llevar a error o confundir a las personas.
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Gracias por todas las respuestas ... El concepto me queda mucho más claro ahora..
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Hay algunas definiciones bastante estrechas en este hilo. No tengo dificultad en tratar cualquier gráfico (por ejemplo, un gráfico de dispersión o un gráfico de cuantiles) basado en una muestra como una estadística de muestra, por ejemplo, y pensar en términos de una distribución de muestreo de tales gráficos. La idea de una alineación de tales gráficos, recientemente reinventada por varios pero remontándose al menos a Shewhart, es una manifestación. Una estadística en el sentido de un solo número calculado a partir de una muestra es, sin duda, el caso encontrado por primera vez por los aprendices, el caso más simple y el más importante, pero no hay necesidad de hacer eso una definición.