Considere la siguiente matriz
$$ \begin{equation}A_{r-1} := \begin{bmatrix} \frac{1}{x_{1}} & -p & \dots & 0 &\dots &0 \\ -q & \frac{1}{x_{2}} & -p &0 & \dots & 0 \\ 0 & -q & \frac{1}{x_{3}} &-p & ~... & 0 \\ 0 & 0 &-q &\frac{1}{x_{4}} &-p & 0 \\ 0 &\vdots & \ddots & -q & \frac{1}{x_{r-2}} & -p \\ 0 &0 &0 &\dots &-q &\frac{1}{x_{r-1}} \end{bmatrix} \end{equation} $$
donde $x_{i},p,q \in \mathbb{R}$, $x_{i} \neq 0$ para todos los $i = 1,2,...,r-1$ e $r \in \mathbb{N}$, $r \geq 3$. Quiero encontrar un cerrado fórmula para $\det(A)$. Para $r=3$ hemos
$$ \begin{equation} \det(A) = \begin{vmatrix} \frac{1}{x_1} & -p \\ -q & \frac{1}{x_2} \\ \end{vmatrix} = \frac{1 -pq(x_1, x_2)}{x_1 x_2}\end{equation} . $$
Para $r = 4$ hemos
$$ \begin{equation} \det(A) = \begin{vmatrix} \frac{1}{x_1} & -p & 0 \\ -q & \frac{1}{x_2} & -p \\ 0 &-q &\frac{1}{x_3} \\ \end{vmatrix} = \frac{1 -pq(x_1, x_2 + x_2 x_3)}{x_1, x_2 x_3} \end{equation} . $$
Hasta este punto creo que la fórmula está dada por
$$ \det(A) = \frac{1 - pq(x_{i-1}x_{r-2} + x_{r-2}x_{r-3})}{x_{1}x_{2}...x_{i-1}}. $$
Pero esto no es correcto. Para $r = 5$ puedo conseguir
$$ \begin{equation} \det(A) = \begin{vmatrix} \frac{1}{x_1} & -p & 0 &0 \\ -q & \frac{1}{x_2} & -p &0 \\ 0 &-q &\frac{1}{x_3} &-p \\ 0 & 0 &-q &\frac{1}{x_4 } \\ \end{vmatrix} = \frac{1 -pq(x_1, x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_4) + p^2 q^2x_1 x_2 x_3x_4}{x_1, x_2 x_3 x_4}. \end{equation} . $$
Ha alguien tiene una idea de cómo encontrar un cerrado fórmula? Gracias por las sugerencias!
