Primer divisor en secuencias de enteros positivos

Question

Me gustaría saber si alguien tiene una ideea si la siguiente afirmación es verdadera. Para cualquier secuencia de consecutivos positivos integerers $(n_0, n_0+1,..., n_0+k).$ Donde $n_0 \ge 1, k\ge 0,$ pero $k\ge 1$ si $n_0 = 0$ (tan diferente de la secuencia (1)). Existe un número primo p que divide a sólo un número en la secuencia.

Por ejemplo, en la secuencia (14, 15, 16) 7 divide sólo uno de ellos, no tiene que ser único como 5 también se divide sólo uno de ellos.

Algunas de las restricciones que me las arreglé para encontrar un contra-ejemplo a la existencia:

• La secuencia no puede contener un número primo, de lo contrario, también contienen un mayor número primo y que el primer solo se divida.
• k tiene que ser menor que $2\times n_0,$ de lo contrario, la secuencia de contener un número primo.
• El número de elementos en la secuencia (es decir, $k+1$) no puede ser un número primo, de lo contrario, el primer solo de dividir un número.

He hecho un simple programa de ordenador para comprobar dicha secuencia, y no podía encontrar ninguna en todas las secuencias posibles de a $n_0 = 200000.$

Answer 1

Si $n_0 > k+1$ hemos Sylvester del Teorema (ver aquí, véase aquí el documento original por Sylvester y véase aquí para una prueba por Erdős), que establece que $n_0(n_0 + 1) \cdots (n_0 + k)$ es divisible por un primo $p$ más grande que la de $k+1$, por lo que exactamente un elemento de nuestra secuencia es divisible por $p$. Para $n_0 \le k+1$ tenemos un primer $p$ con $n_0 \le \left \lceil(n_0 + k)/2 \right\rceil < p \le n_0 + k$ por Bertrand Postulado y no otro número entero en la secuencia puede ser divisible por $p$, desde el $2p > n_0 + k$.