Mostrar a grupo de orden $4563=3^3\cdot13^2$ no es simple.

Question

Mostrar un grupo de orden $4563=3^3\cdot13^2$ no es simple.

Estoy confundido al tratar con estas Sylow del juego. Especialmente cuando el pedido se hace más grande. Parece que no hay reglas comunes para solucionar este tipo de problemas.
Yo: $n_{13}=1+13t$ e $n_{13}$ divide $3^3=27$, por lo tanto $t=0,2$. Si $t=0$ a continuación, hemos terminado. Si $t=2$Hay $27$ 13-subgrupos de orden 169 de la oit. A continuación, considere la posibilidad de la conjugación de la acción de G en el conjunto de 13-subgrupos. Demostrar que es inducida por un homomorphism entre $G$ e $S_{27}$. Y desea reclamar una contradicción por $|G|$ no divide $27!$. Pero, lamentablemente, no dividir. Cualquier otro método que se puede conseguir esto resuelto?

Answer 1

El próximo cosas para tratar a menudo son:

• considerar las intersecciones de Sylow de los grupos, y
• usar el hecho de que los grupos de orden $p^2$, $p$ un primo, siempre abelian.

Vamos a ver. Supongamos que tenemos dos Sylow $13$-subgrupos que se cruzan no trivialmente, decir $P_1\cap P_2$ e $x\neq 1_G, x\in P_1\cap P_2$ con $|P_1|=|P_2|=13^2$. A continuación, $x$ es centralizada por tanto $P_1$ e $P_2$. Esto significa que $C_G(x)$ tiene el fin de que se de un adecuado varios de $13^2$. El tamaño de la clase conjugacy de $x$, $[G:C_G(x)]$, es por lo tanto un adecuado factor de $[G:P_1]=27$, y por lo tanto en la mayoría de los nueve. Si $x$ está en el centro, $G$ no puede ser simple. De lo contrario, tenemos un no-trivial homomorphism de $G$ a $S_9$ por la conjugación de la acción en la clase conjugacy de $x$. De nuevo, hemos terminado.

Así que vamos a suponer que todos los veintisiete Sylow $13$-subgrupos se cruzan trivialmente. En caso de que su unión contiene $(27\cdot 168)+1=|G|-26$ elementos. Ahora podemos ver Sylow $3$-subgrupos. Su no-identidad elementos deben estar entre los $26$ elementos que no pertenecen a ninguna Sylow $13$. Esto significa que hay espacio para un solo Sylow $3$-subgrupo, que luego es normal que la conclusión de la prueba.