Una pregunta sobre la categoría de conjuntos con endomorphisms

Question

Estoy teniendo un tiempo difícil para averiguar un problema de mi profesor asignado en un curso de introducción en la categoría de teoría. Soy un estudiante de filosofía, y no he de fondo tanto en matemáticas. Se trata de la categoría de conjuntos con endomorphisms, que se define como esto (no he podido encontrar este ejemplo de la categoría en cualquier libro, pero es bastante sencillo):

La categoría de conjuntos con endomorphisms es la categoría cuyos objetos son los conjuntos de $A, B ...$ equipados cada uno con un endomorfismo $\alpha, \beta ...$. Una de morfismos $$f:(A,\alpha)\rightarrow(B,\beta)$$ is a function from the set $Un$ to set $B$ that respects the endomorphisms, i.e, $$f\circ\alpha=\beta\circ f$$ Ahora, el problema es: en esta categoría, considere la posibilidad de los objetos de $(\mathbb Z, \alpha)$ e $(\mathbb Z,\beta)$ donde $\alpha(n)=2n$ e $\beta(n)=3n$. Son dos objetos isomorfos?

Y cuando dos objetos (con el conjunto subyacente $\mathbb Z$ sino dos diferentes endomorphisms) ser isomorfo?

Hago esta pregunta más general así porque, de hecho, ni siquiera puedo encontrar una morfismos entre los dos objetos, y mucho menos uno que tiene una inversa. La única morfismos de lo que podía pensar, que respeta la endomorphisms, es el que envía cada número a cero, pero esto no se tiene una inversa. Así que estoy tentado a decir que la respuesta al problema es negativo, pero realmente no puedo probarlo. Lo que me estoy perdiendo en este problema?

(También, esta es mi primera pregunta aquí y me gustaría aceptar cualquier sugerencia sobre cómo mejorar)

Answer 1

Permítanme tratar de dar un poco de perspectiva en la forma de pensar acerca de los objetos de esta categoría. En primer lugar, olvidándose de la endomorphisms, ¿qué es un conjunto? Es sólo un conjunto de puntos. Así que, usted debe imaginar esto como una gran bolsa de puntos con ninguna estructura de relacionarse con ellas.

Ahora, si usted tiene un conjunto de $A$, lo que estructura adicional hace un endomorfismo $\alpha:A\to A$ ? Así, para cada elemento $a\in A$, vincula $a$ a algún otro elemento $\alpha(a)$. Usted podría visualizar esta imaginando que dibuje una flecha desde a$a$ a $\alpha(a)$, para cada punto en su conjunto. Así, en lugar de sólo una bolsa de puntos, ahora tiene un diagrama de puntos donde hay unas flechas entre ellos, con exactamente una flecha de partida en cada punto. (Más formalmente, un matemático diría que se trata de un tipo especial de "grafo dirigido".)

Veamos algunos ejemplos sencillos. En primer lugar, considere la posibilidad de $A=\mathbb{N}$ con $\alpha(n)=n+1$. Esto parece un infinito "ray" de puntos a irse a la derecha, con una flecha desde un punto al siguiente. Otro ejemplo es $B=\mathbb{N}$ con $\beta(n)=n+2$. Esto tiene el mismo conjunto de puntos, pero ahora las flechas son diferentes, por lo que constituyen dos separar a los "rayos". Uno de los rayos, que consta de todos los números pares, y el otro ray consiste de todos los números impares. Así, podemos ver que $(A,\alpha)$ e $(B,\beta)$ son no isomorfos, ya $(A,\alpha)$ tiene un solo conectado a ray mientras $(B,\beta)$ consta de dos rayos que no están conectados unos a otros a través del mapa de $\beta$. (Esto no es completamente rigurosa argumento, pero se puede hacer en uno.) Otro ejemplo es $C=\mathbb{Z}$ con $\gamma(n)=n+1$. Este tiene solo uno conectado pieza como $(A,\alpha)$, pero ahora en lugar de un rayo es una línea que continúa infinitamente hacia adelante y hacia atrás.

Sus ejemplos son un poco más complicadas, pero pueden ser analizadas en un espíritu similar. Así pues, aquí están algunas cosas que me animo a contemplar en su propio. Para $(\mathbb{Z},\alpha)$ con $\alpha(n)=2n$, lo que "piezas conectadas" puede romper la imagen? ¿Qué forma tienen las piezas? Son los rayos? Líneas? Algo más? Y, ¿se puede hacer el mismo análisis para las $(\mathbb{Z},\beta)$ con $\beta(n)=3n$? ¿Tiene el mismo número de piezas con la misma forma (por lo que sería isomorfo), o no?

Breves respuestas a estas preguntas están ocultos a continuación.

Para $(\mathbb{Z},\alpha)$, hay infinitamente muchas piezas. Es decir, para cualquier entero impar $n$, el conjunto de los enteros de la forma $2^kn$ para $k\geq 0$ formas de "ray", a partir de a $2^0n=n$ y, a continuación, con $\alpha$ tomando cada una de las $2^kn$ hasta el siguiente punto de $2^{k+1}n$. Además de estos rayos, hay otra pieza, que consta de sólo $0$. Este es un "loop" con un punto, ya que $\alpha$ mapas de $0$ a sí mismo. Así que, para resumir $(\mathbb{Z},\alpha)$ consiste de (countably) infinitamente muchos rayos juntos un único punto de bucle.

¿Qué acerca de la $(\mathbb{Z},\beta)$? Es casi lo mismo! Tenemos de nuevo una infinidad de "rayos", salvo que ahora comienzan a números enteros que no son múltiplos de $3$, en lugar de en números enteros impares. Y además de estos rayos, tenemos un punto de bucle en $0$.

Así, desde la $(\mathbb{Z},\alpha)$ e $(\mathbb{Z},\beta)$ constan cada uno de countably infinitamente muchos rayos y un único punto de bucle, deben ser isomorfos. Se los dejo a ustedes para tratar de probar esto de manera más formal.