Convergencia de la serie para $x>0$ :
$$\frac37x + \frac{3\times6}{7\times10}x^2 + \frac{3\times6\times9}{7\times10\times13}x^3+ \cdots$$
El tem general es $a_n = \frac{3\times6\times \cdots \times(3+(n-1)3)}{7\times10 \times\cdots \times(7+(n-1)3)} x^n$ .
Estoy pensando en utilizar la prueba de Raabe. pero no puedo proceder.
Tenemos que encontrar $$\lim _{n \to \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1} } -1\right) = \lim _{n \to \infty} n \left(\frac{7+3n}{3+3n} \frac1x -1\right)$$
por lo que el límite depende de $x$ .
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Tenga en cuenta que $a_n = \Theta (n^{-4/3}).$ A partir de esto, sólo se puede utilizar la prueba de la proporción.
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He aquí un dato curioso. La serie $$\sum_{k=1}^\infty\,x^k\,\prod_{j=1}^k\,\frac{3j}{3j+4}$$ es convergente para, y sólo para, todos los números complejos $x$ tal que $|x|<1$ y es igual a $$-1+\frac{4}{x}+\frac{2\,(1-x)^{\frac{1}{3}}}{3\,x^{\frac{4}{3}}}\,g(x)\,$$ donde $$g(x):=\small 2\sqrt{3}\,\text{atan2}\left(1-\frac{x^{\frac13}}{2\,(1-x)^{\frac13}},-\frac{\sqrt{3}\,x^{\frac13}}{2\,(1-x)^{\frac13}}\right)-2\ln\left(1+\frac{x^{\frac13}}{(1-x)^{\frac13}}\right)+\ln\left(1-\frac{x^{\frac13}}{(1-x)^{\frac13}}+\frac{x^{\frac23}}{(1-x)^{\frac23}}\right)\,.$$
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En el comentario anterior, $\text{atan2}$ es el $2$ -argumento arctangente . De hecho, tenemos $$\sum_{k=1}^\infty\,x^k\,\prod_{j=1}^k\,\frac{3j}{3j+4}={_2F_1}\left(1,1;\frac{7}{3};x\right)-1\text{ for every }x\in\mathbb{C}\text{ such that }|x|<1\,,$$ donde ${_2F_1}$ denota el función hipergeométrica . Lo he sacado de Mathematica, por desgracia, así que no sé cómo resolver la función hipergeométrica manualmente.