Definición de producto interior como en el caso del trabajo.

Question

De acuerdo a la definición matemática de "vectores", los vectores son simplemente los elementos de un conjunto $V$ que forma un espacio vectorial estructura $(V,F,+,*)$. La definición de producto interior establece que es una función de $\langle ,\rangle :V\times V \rightarrow F$ con las propiedades del interior de los productos a ser satisfecho como tal. Mi pregunta es: ¿Cómo podemos entonces definir el producto escalar como el trabajo $dW=F.dx$ donde $F$ e $dx$ son tanto los vectores como por la definición matemática? Debido a que tanto el vector $F$ e $dx$ pertenecen a dos diferentes espacios vectoriales, entonces, ¿cómo podemos definir el "producto interior" entre ellos?

Answer 1

No estoy seguro de si su afirmación de que $F$ e $dx$ encuentran en diferentes espacios vectoriales se deriva del hecho de que uno es infinitesimal y la otra no, o que tienen diferentes unidades físicas, así que no pueden ser sumadas. Si es la primera, entonces se puede considerar una línea integral como límite de sumas de productos de puntos de no-infinitesimal de vectores.

Si es esto último, entonces podemos obtener el mismo problema sin necesidad de considerar la complicación de espacios vectoriales preguntando por qué podemos multiplicar dos cantidades escalares con diferentes unidades, aunque no pueden ser sumadas y por lo tanto no (obviamente) se encuentran en el mismo campo (en el álgebra abstracta sentido de la palabra). Matemáticamente la formalización de primaria análisis dimensional es sorprendentemente no trivial: Terry Tao tiene un buen tratamiento aquí.

La "rápida y sucia", la respuesta es que cuando se piensa formal de la matemática/resumen-algebraica de la estructura del espacio de posibles valores de una cantidad física, te olvidas de las unidades y tratar todo como adimensional. (E. g. crees que de todos los tres vectores como vivir en $\mathbb{R}^3$, independientemente de sus unidades físicas.) Después de esto, usted declara las operaciones que no hacen dimensiones de sentido "físicamente" no válido a pesar de que está perfectamente legítimo desde una perspectiva matemática. "Codificar" las restricciones dimensionales en el conjunto de operaciones permitidas directamente formal de la estructura matemática es generalmente de manera más esfuerzo que vale la pena.

(Un último comentario, que va bastante más allá del alcance de su pregunta, así que ignóralo. El "dimensionful" enfoque se pone muy molesto en el operador del formalismo de la mecánica cuántica, porque en ese caso la multiplicación escalar por un dimensionful "escalar" en realidad formalmente toma un vector a otro vector en una diferente (aunque isomorfo) espacio de Hilbert. Esto significa que lineal "operadores" correspondiente a dimensionful observables en realidad no son operadores en todo, pero lineal mapas entre los diferentes espacios de Hilbert. El inocuo ecuación de $\hat{H} |\psi\rangle = E |\psi\rangle$ es una simple ecuación en la "adimensional" formalismo, pero es una forma mucho más sutil de la categoría de la teoría de la generalización de la ecuación de valores propios en el "dimensionful" formalismo, en la que no se puede agregar $|\psi\rangle + E |\psi\rangle$. Confía en mí, a veces rigor matemático simplemente no vale la pena.)

Answer 2

Si consideras $F$ e $dx$ como en diferentes espacios Vectoriales, usted está entrando en la región de la Geometría Diferencial. Aquí las cosas son más complicadas, ya que los vectores se definen como el elemento del espacio de la tangente se define en cada punto de la variedad, y con el fin de comparar los vectores en diferentes puntos que usted tiene que definir una regla (que es el transporte paralelo), que a su vez está definido por una derivada covariante.

En su ejemplo, sin embargo, $\vec{F}=(F_x,F_y,F_z)$ e $d\vec{x}=(dx,dy,dz)$ por lo que se puede pensar en ellos pertenecientes a $\mathbb{R}^3$, y el '$\cdot$' (dot) de producto es la usual.

EDIT::

!Atención! Matemática atrocidad entrante

Considerar el Trabajo como una función: $$W:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$$ a continuación, cuando se escribe el diferencial de $dW$ que significa que: $$dW=\frac{\partial W(x,y,z)}{\partial x}dx+\frac{\partial W(x,y,z)}{\partial y}dy+\frac{\partial W(x,y,z)}{\partial z}dz$$

Entonces se puede pensar en el campo de vectores $\vec{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$como: $$\vec{F}=\left(\frac{\partial W(x,y,z)}{\partial x},\frac{\partial W(x,y,z)}{\partial y},\frac{\partial W(x,y,z)}{\partial z} \right)$$

y entonces se puede pensar de $dW$ como esta $\vec{F}\cdot d\vec{x}$. Pero claramente este punto, el producto no está bien definido si usted piensa que el verdadero significado del símbolo $d\vec{x}$ ($dW$ es una forma diferenciada).

El Rigor Matemático

Si queremos ser más precisos, el trabajo realizado por un campo externo $\vec{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ a lo largo de un camino de $\gamma\subset\mathbb{R}^3$ que es parametrizadas por $\phi:[a,b]\to\gamma$, es el siguiente de segunda clase a la integral de línea:

$$W=\int_a^b \langle\vec{F}(\phi(t)),\frac{\phi'(t)}{||\phi'(t)||}\rangle ||\phi'(t)||dt$$ Y es por eso que, ingenuamente, se puede pensar que para diferenciar ambos términos y obtener la infinitesimal de trabajo como lo escribió, pero es sólo una práctica de la escritura para significar que el trabajo total es la fórmula de arriba.

Answer 3

Supongo que te refieres al hecho de que pertenecen a diferentes espacios vectoriales debido a que tienen diferentes unidades. La dificultad está ejecutando en es sólo una indicación de un inconveniente en el conjunto de definiciones y fundamentos de las matemáticas que en la actualidad pasa a ser popular. Para entender esto, puede ser útil echar un vistazo a la historia.

1. Algo parecido a lo que hoy definimos como un espacio vectorial fue definido por primera vez por Peano en 1888.

2. Vectores, incluyendo las palabras "vector" y "escalar" fueron definidos por Gibbs alrededor de 1888, como una manera de simplificar el sistema de cuaterniones para sus estudiantes en la universidad de Yale.

3. Los físicos modernos definición de un vector, que implica a sus propiedades de transformación, se ha normalizado ca. 1930-1950.

4. La teoría de conjuntos fue lanzado en algo así como su forma actual por ZFC en 1908-1922.

Tenga en cuenta que todos estos acontecimientos que realmente ocurrieron durante el período de muchos años, no en fechas específicas, así que lo que realmente tenemos es una superposición del conjunto de períodos de tiempo, con personas que trabajan de forma independiente el uno del otro y no necesariamente la producción de sistemas coherentes.

Los conceptos básicos que realmente necesitamos para hacer de álgebra lineal son algebraicas, es decir, esencialmente sintáctica de los hechos, por ejemplo, la propiedad $(a\textbf{u})\cdot\textbf{v}=a(\textbf{u}\cdot\textbf{v})$. Cuando usted mira un axioma como este y, a continuación, aplicar, no hace ninguna diferencia si o no los objetos, $a$, $\textbf{u}$, e $\textbf{v}$ pertenecen a ciertos conjuntos. La noción de un conjunto llegó más tarde que la noción de un espacio vectorial. El hecho de que la gente de hoy por lo general el uso de ZFC como base y definir cosas como espacios vectoriales en términos de operaciones sobre un conjunto no significa que se tiene que hacer de esa manera, se han hecho de esa manera, o siempre es conveniente hacerlo de esa manera.

Así, por ejemplo, supongamos que un objeto se inicia en reposo y es acelerada por una fuerza constante, $\textbf{F}$, por lo que $\textbf{F}=(2m/t^2)\textbf{x}$. Las identidades que definen las propiedades del producto interior tienen la misma forma sintáctica, y por lo tanto conducen a los mismos resultados, independientemente del hecho de que no tendría sentido hablar de la $\textbf{F}+\textbf{x}$. Usted puede encontrar el trabajo realizado por esta fuerza, y mientras que usted está haciendo eso, usted puede utilizar libremente la identidad de $(a\textbf{u})\cdot\textbf{v}=a(\textbf{u}\cdot\textbf{v})$.

Si lo desea, puede describir las fuerzas y los desplazamientos como de los diferentes espacios vectoriales con algunos maquinaria para conectar con ellos de modo que usted puede hacer productos de puntos, o si se quiere, se puede pensar en ellos como pertenecientes a algún tipo de espacio que tiene algunos prohibido las operaciones, tales como no ser capaz de algunas adiciones. No importa cuál de estos haces, y en la práctica nadie hace nada como esto formalmente.

Tenga en cuenta también que el físico de la definición de un vector es más restrictiva que la de un matemático, por ejemplo, si se forma un par ordenado que consta de $(S,q)$, donde $S$ es el valor actual del S&P 500 índice del mercado de valores, y $q$ es una carga eléctrica, entonces para un matemático, este es un vector que se vive en algunas espacio vectorial, pero para un físico esto no es un vector, en absoluto, porque no transforma como un vector.

Answer 4

Si usted se refiere a ellos con diferentes dimensiones físicas ($[F] = MLT^{-2}$ e $[dx] = L$) y unidades, entonces podemos pensar en los dos espacios de ser lo que podría ser llamado "etiquetado espacios vectoriales". Tal puede ser visto como tuplas de un espacio vectorial y una etiqueta (por ejemplo, una unidad), como $\langle \mathbb{R}^3, \mathrm{N} \rangle$ e $\langle \mathbb{R}^3, \mathrm{m}\rangle.$ I se indican los elementos en estos espacios también como etiquetado de los valores, por ejemplo, $\langle f, \mathrm{N} \rangle,$ donde $f \in \mathbb{R}^3.$

Además sólo está permitido dentro de un etiquetado espacio vectorial y se define por $\langle u_1, \text{tag} \rangle + \langle u_2, \text{tag} \rangle = \langle u_1+u_2, \text{tag} \rangle.$

Multiplicación (de algún tipo) de dos vectores $\langle u, \mathrm{u} \rangle$ e $\langle v, \mathrm{v} \rangle$ es permitido si la multiplicación de $u$ e $v$ está permitido, y se define como el $\langle u, \mathrm{u} \rangle * \langle v, \mathrm{v} \rangle = \langle u*v, \mathrm{u}\mathrm{v} \rangle.$ Aquí $\mathrm{u}\mathrm{v}$ es un producto de unidades, así que el conjunto de las unidades deben ser monoid.

Answer 5

Pensando en esto en el caso finito, sin tratar con infinitesimales, tienes $F\cdot \Delta x$ . Ambos vectores en este producto interno viven en el mismo espacio, es decir, $\mathbb{R}^3$ en el espacio tridimensional habitual, al menos hasta un isomorfismo.