¿Por qué sólo tomamos las normas por encima de los números reales o complejos?

Question

Por definición, las normas se definen sobre algunos $ \mathbb {R}$ o $ \mathbb {C}$ espacio vectorial. ¿Por qué sólo nos limitamos a estos campos cuando otros campos también dan lugar a objetos interesantes? (por ejemplo, la evaluación p-adic)

¿Es una razón histórica o porque otros campos darían propiedades tan diferentes que preferiríamos no asociar también el término "norma" con ella? Si es así, entonces asumo que $ \mathbb {R}$ y $ \mathbb {C}$ son lo suficientemente similares como para hacer de ellos los dos campos que dan lugar a las normas?

Answer 1

No creo que esto sea cierto. La gente que trabaja en $p$ -el análisis adictivo a menudo trabaja con la cantidad $| \vec {x}| = \max_ {1 \leq i \leq n} (|x_i|_p)$ para $ \vec {x} \in \mathbb {Q}_p^n$ con $|\ |_p$ el $p$ -norma adictiva. Esta es una norma en el sentido de que $| \vec {x}+ \vec {y}| \leq \max (| \vec {x}|, | \vec {y}|)$ , $|c \vec {x}| \leq |c|_p | \vec {x}|$ y $| \vec {x}|=0$ si y sólo si $ \vec {x} = \vec {0}$ . La métrica inducida por esta norma en $ \mathbb {Q}_p^n$ da la topología estándar del producto.

El grupo de matrices que preservan esta norma es un grupo útil: Son las matrices $g$ por lo que ambos $g$ y $g^{-1}$ tienen entradas en $ \mathbb {Z}_p$ . Normalmente se denota $GL_n( \mathbb {Z}_p)$ y reproduce el análogo del grupo ortogonal. En efecto, La forma normal de Smith para la EPI $ \mathbb {Z}_p$ dice que cada matriz en $GL_n( \mathbb {Q}_p)$ puede ser factorizado como $U \Sigma V$ donde $U$ y $V$ están en $GL_n( \mathbb {Z}_p)$ y $ \Sigma $ es diagonal con poderes de entrada de $p$ es valioso pensar en esto como una analogía no Arquimediana de descomposición de valor singular .

Aprendí esta perspectiva del capítulo 4 del libro de Kiran Kedlaya. $p$ -ecuaciones diferenciales adictivas "y he visto muchos otros $p$ -Los periódicos tradicionales lo usan desde entonces.

Acabo de ver la biografía del OP, y parece que es un joven estudiante universitario. Así que la razón por la que no han visto esto podría ser que los libros de álgebra lineal escritos para estudiantes universitarios no asumen que el lector sabe lo que el $p$ -Los adictos lo son.

Answer 2

Una norma en un espacio $V$ también induce una métrica en $V$ (más o menos por definición), y una métrica es por definición un mapa de $V \times V \rightarrow \mathbb {R}$ . Por lo tanto, la norma debería mapear los elementos de $V$ a $ \mathbb {R}$ y requerimos que $ \left\ | \alpha x \right\ | = | \alpha | \left\ |x \right\ |$ para las propiedades de la norma. Así que.., $| \alpha |$ también debe ser un número real para cualquier $ \alpha $ en el campo que $V$ ha terminado. Esto limita bastante la elección del campo a $ \mathbb {R}$ y $ \mathbb {C}$ .

Por supuesto, esta respuesta sólo empuja la pregunta de por qué queremos que las métricas se asignen a $ \mathbb {R}$ ...

Answer 3

Creo que si quieres trabajar con normas sobre los espacios vectoriales sobre los campos en general, entonces tienes que usar el concepto de valoración.

Campo valorado: Deje que $K$ ser un campo con valoración $| \cdot |:K \to\mathbb {R}$ . Esto es, para todos $x,y \in K$ , $| \cdot |$ satisface:

1. $|x| \geq0 $ ,
2. $|x|=0$ iff $x=0$ ,
3. $|x+y| \leq |x|+|y|$ ,
4. $|xy|=|x||y|$ .

El conjunto $|K|:=\{|x|:x \in K-\{0\}\}$ es un subgrupo multiplicador de $(0,+ \infty )$ llamado el grupo de valor de $| \cdot |$ . La valoración se llama trivial , discreto o denso en consecuencia, ya que su grupo de valor es $\{1\}$ un subconjunto discreto de $(0,+ \infty )$ o un denso subconjunto de $(0,+ \infty )$ . Por ejemplo, las valoraciones habituales en $ \mathbb {R}$ y $ \mathbb {C}$ son valoraciones densas.

Norm: Deje que $(K,| \cdot |)$ ser un campo valorado y $X$ ser un espacio vectorial sobre $(K,| \cdot |)$ . Una función $p:X \to \mathbb {R}$ es una norma iff para cada $a,b \in X$ y cada uno $k \in K$ satisface:

1. $p(a) \geq0 $ y $p(a)=0$ iff $a=0_X$ ,
2. $p(ka)=|k|p(a)$ ,
3. $p(a+b) \leq p(a)+p(b)$

Hay toda una área de investigación en la que se consideran campos de valor arbitrario y estos campos no son necesariamente campos ordenados. Se llama Análisis Funcional No Arquimediano. Un punto de partida completo para leer sobre los espacios normalizados en este contexto es el libro: Non-Archimedean Functional Analysis - [A.C.M. van Rooij] - Dekker New York (1978).

Para el estudio de cosas más avanzadas, como espacios localmente convexos sobre campos valiosos recomiendo el libro: Locally Convex Spaces over non-Arquimedean Valued Fields - [C.Perez-Garcia,W.H.Schikhof] - Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2010).

Ahora bien, si se pregunta si el concepto de valoración puede generalizarse, la respuesta es sí. En un campo $K$ puedes tomar un mapa $| \cdot |:K \mapsto G \cup\ {0\}$ satisfactoria

1. $|x| \geq0 $ ,
2. $|x|=0$ iff $x=0$ ,
3. $|x+y| \leq max\{|x|,|y|\}$ ,
4. $|xy|=|x||y|$ .

donde $G$ es un grupo arbitrario multiplicador ordenado y $0$ es un elemento tal que $0<g$ para todos $g \in G$ . En este nuevo ajuste, una norma puede tomar valores en un conjunto ordenado $Y$ en el que $G$ actos que hacen de $Y$ a $G$ -módulo. Para una introducción en esta área recomiendo el papel:

Los espacios de Banach sobre los campos con una valoración de rango infinito, En J. Kakol, N. De Grande-De Kimpe, y C. Perez-Garcia, editores, p-adic Functional Analysis, volumen 207 de Lecture Notes in Pure and Appl. Math., páginas 233-293. Marcel Dekker - [H.Ochsenius A., W.H.Schikhof] - 1999

Después de eso, mira: Norm Hilbert espacializa sobre los campos valorados por Krull - [H. Ochsenius, W.H. Schikhof] - Indagationes Mathematicae, Elsevier - 2006