¿Por qué el teorema de Stone-Weierstrass no implica que cada función tenga una expansión de la serie de potencias?

Question

Sé que no cada función tiene un poder de expansión de la serie. Sin embargo, lo que no entiendo es que por cada $C^{\infty}$ funciones hay una secuencia de polinomio $(P_n)$ tal que $P_n$ converge uniformemente a $f$. Es decir :

$$\forall x \in [a,b], f(x) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k,n}x^k$$

Pero entonces porque converge uniformemente ¿por qué no puedo decir que :

$$\forall x \in [a,b], f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} a_{k,n}x^k$$

Y por lo $f$ tiene un poder de expansión de la serie con los coeficientes: $\lim_{n \to \infty} a_{k,n}x^k$.

Answer 1

Respuesta corta. La secuencia de polinomios garantizada por el teorema de Stone Weierstrass puede no ser construible agregando términos de orden superior y superior. Los primeros coeficientes pueden variar a medida que la secuencia crece. Entonces no tienes la secuencia de sumas parciales de una serie de potencias.

Answer 2

<span class="math-container">$$\lim{n\to\infty}\left(\lim{k\to\infty} a{n,k}\right)$$ is, in general, not the same as <span class="math-container">$% $ $\lim{k\to\infty}\left(\lim{n\to\infty} a{n,k}\right)$</span> y para cambiar el orden de la suma infinita (que es en su definición un límite) y su límite, tendría algo como eso.</span>

Answer 3

No estoy seguro de qué sentido se le puede dar a los $$ \lim_{n\to\infty}a_{k,n} $$ No hay nada en el Stone-Weierstrass, que puede incluso indicio de la existencia de ese límite.

El ejemplo tradicional de un $C^\infty$ función que no en todas partes analítica ilustra bien esto. Intentar encontrar un polinomio de aproximación para $$ f(x)=\begin{cases} 0 & x=0 \\[4px] e^{-1/x^2} & x\ne0 \end{casos} $$ y te darás cuenta de que el cambio no es posible, porque el límite bajo control no existen.

Answer 4

Sí, pero porque tengo la convergencia uniforme el interruptor de límite de trabajo?

Tal y como yo lo entendí correctamente el teorema nos dice que la expresión completa converge uniformemente. Sí no dicen nada acerca de la convergencia de cada elemento dentro de la suma.

Sin embargo, una suma de funciones puede ser uniformemente convergente incluso si las funciones dentro de la suma no están convergiendo a todos!!!!

Contraejemplo:

$g_{n,k}(x)=\begin{cases} nx\text{ if }k=1\\ (-nx)\text{ if }k=2\\ 0\text{ else}\\ \end{casos}$

$f_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}g_{n,k}(x)$

Entonces:

$f_n(x)=(nx-nx)=0$ lo que significa que el valor de $f_n(x)$ es independiente de $n$ lo que significa que todos los elementos de la función de la serie son la misma función y, por tanto, la función de la serie converge uniformemente a $f(x)=0$.

Por favor, también tenga en cuenta que $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ en este ejemplo.

Los elementos individuales en la suma de ($g_{n,1}(x)=nx$ e $g_{n,2}(x)=-nx$), sin embargo, son divergentes, tanto por $n\to\infty$ e de $x\to\pm\infty$.