¿Cuál es la diferencia entre GARCH y ARMA?

Question

Estoy confundido. No entiendo la diferencia entre un proceso ARMA y un proceso GARCH.

Este es el proceso (G)ARCH(p, q)

$$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$$

Y aquí está el ARMA( $p, q$ ):

$$ X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$$

¿Es el ARMA simplemente una extensión del GARCH, utilizándose el GARCH sólo para los rendimientos y con la suposición $r = \sigma\varepsilon$ donde $\varepsilon$ sigue un fuerte proceso blanco?

Answer 1

Estás confundiendo las características de un proceso con su representación. Considere el proceso (de retorno) $(Y_t)_{t=0}^\infty$ .

• Un modelo ARMA(p,q) especifica la media condicional del proceso como

$$ \begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align} $$ Aquí, $\mathcal{I}_t$ es el conjunto de información en el momento $t$ que es el $\sigma$ -álgebra generada por los valores retardados del proceso de resultado $(Y_t)$ .

• El modelo GARCH(r,s) especifica la varianza condicional del proceso $$ \begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat} $$

Obsérvese en particular la primera equivalencia $ \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$ .

A parte : A partir de esta representación, se puede escribir $$ \epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t $$ donde $Z_t$ es un proceso de ruido blanco fuerte, pero esto se deduce de la forma en que se define el proceso.

• Los dos modelos (para la media condicional y la varianza) son perfectamente compatibles entre sí, en el sentido de que la media del proceso puede modelarse como ARMA, y las varianzas como GARCH. Esto lleva a la especificación completa de un modelo ARMA(p,q)-GARCH(r,s) para el proceso como en la siguiente representación $$ \begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align} $$

Answer 2

Editar: Me he dado cuenta de que la respuesta era deficiente y, por tanto, he proporcionado una respuesta más precisa (véase más abajo o quizá más arriba). He editado ésta por errores de hecho y la dejo para que conste.

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Diferentes parámetros de enfoque:

• ARMA es un modelo para las realizaciones de un proceso estocástico que impone una estructura específica del condicional media del proceso.
• GARCH es un modelo para las realizaciones de un proceso estocástico que impone una estructura específica del condicional desviación del proceso.

Answer 3

ARMA

Considere $y_t$ que sigue un ARMA( $p,q$ ). Supongamos, para simplificar, que tiene media cero y varianza constante. Con la condición de la información $I_{t-1}$ , $y_t$ puede dividirse en una parte conocida (predeterminada) $\mu_t$ (que es la media condicional de $y_t$ dado $I_{t-1}$ ) y una parte aleatoria $u_t$ :

\begin {alineado} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \N - \N - \N - \text {(conocido, predeterminado)}; \\ u_t | I_{t-1} &~ \sim D(0, \sigma ^2) \ \ \text {(al azar)} \\ \end {alineado}

donde $D$ es cierta densidad.

El media condicional $\mu_t$ sigue un proceso similar al de ARMA( $p,q$ ) pero sin el término de error aleatorio contemporáneo: $$ \mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}, $$ donde $m:=\max(p,q)$ ; $\varphi_i=0$ para $i>p$ y $\theta_j=0$ para $j>q$ . Obsérvese que este proceso tiene orden ( $p,m$ ) en lugar de ( $p,q$ ) al igual que $y_t$ .

También podemos escribir la distribución condicional de $y_t$ en términos de sus medias condicionales pasadas (en lugar de los valores realizados en el pasado) y los parámetros del modelo como

\begin {alineado} y_t & \sim D( \mu_t , \sigma_t ^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_ {t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_ {t-p} + ( \varphi_1 + \theta_1 ) u_{t-1} + \dotsc + ( \varphi_m + \theta_m ) u_{t-m}; \\ \sigma_t ^2 &= \sigma ^2, \end {alineado}

Esta última representación facilita la comparación de ARMA con GARCH y ARMA-GARCH.

GARCH

Considere $y_t$ que sigue un modelo GARCH( $s,r$ ). Supongamos por simplicidad que tiene media constante. Entonces

\begin {alineado} y_t & \sim D( \mu_t , \sigma_t ^2); \\ \mu_t &= \mu ; \\ \sigma_t ^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_ {t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_ {t-r}^2; \\ \frac {u_t}{ \sigma_t } & \sim i.i.D(0,1), \\ \end {alineado}

donde $u_t:=y_t-\mu_t$ y $D$ es cierta densidad.

El varianza condicional $\sigma_t^2$ sigue un proceso similar al de ARMA( $s,r$ ) pero sin el término de error aleatorio contemporáneo.

ARMA-GARCH

Considere $y_t$ que tiene media incondicional cero y sigue un ARMA( $p,q$ )-GARCH( $s,r$ ). Entonces

\begin {alineado} y_t & \sim D( \mu_t , \sigma_t ^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_ {t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_ {t-p} + ( \varphi_1 + \theta_1 ) u_{t-1} + \dotsc + ( \varphi_m + \theta_m ) u_{t-m}; \\ \sigma_t ^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_ {t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_ {t-r}^2; \\ \frac {u_t}{ \sigma_t } & \sim i.i.D(0,1), \\ \end {alineado}

donde $u_t:=y_t-\mu_t$ ; $D$ es alguna densidad, por ejemplo, Normal; $\varphi_i=0$ para $i>p$ y $\theta_j=0$ para $j>q$ .

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El media condicional proceso debido a ARMA tiene esencialmente la misma forma que el varianza condicional debido a GARCH, sólo los órdenes de desfase pueden diferir (permitiendo una media incondicional no nula de $y_t$ no debería cambiar significativamente este resultado). Es importante, ni tiene términos de error aleatorios una vez condicionados a $I_{t-1}$ Por lo tanto ambos están predeterminados.

Answer 4

Los procesos ARMA y GARCH son muy similares en su presentación. La línea divisoria entre ambos es muy fina, ya que obtenemos GARCH cuando se asume un proceso ARMA para la varianza del error.

Answer 5

La diferencia está en la parte estocástica o en la falta de ella.

Observe el índice de tiempo más reciente de la parte estocástica en su formulación de ARMA: $$X_t=\varepsilon_t+\dots$$ Compárelo con GARCH: $$\sigma^2_t=r^2_{t-1}+\dots$$

Puede ver inmediatamente que en ARMA en futuro tiempo $t$ la perturbación $\varepsilon_{t}$ no se observa todavía, mientras que en GARCH $r_{t-1}$ ya está en el pasado, es decir, observado. Por lo tanto, el ARMA es estocástico cuando se trata de pronosticar $\hat X_{t}|I_{t-1}$ y GARCH no lo es. En el momento $t-1$ ya tiene toda la información para calcular la previsión de $\hat\sigma^2_t|I_{t-1}$ en GARCH