¿Las unidades de energía son las mismas en las dimensiones superiores?

Question

En 3 dimensiones espaciales, $$[E] = [ML^2 T^{-2}]$$

¿Cambiaría en dimensiones superiores? En caso afirmativo, ¿cuáles serían las dimensiones para 4 dimensiones espaciales?

Answer 1

Supongamos por un momento que estamos interesados específicamente en la energía cinética de una sola partícula no relativista, de modo que $E=\frac{1}{2}m\vec{v}^2$ . Incluyo aquí la notación vectorial para la velocidad porque es útil tener en cuenta que $\vec{v}^2=\vec{v}\cdot\vec{v}$ .

Si la partícula se mueve en dos dimensiones, entonces $\vec{v}=v_x\hat{x}+v_y\hat{y}$ y $\vec{v}\cdot\vec{v}=v_x^2+v_y^2$ que tiene unidades de velocidad al cuadrado. En tres dimensiones, $\vec{v} = v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}$ y $\vec{v}\cdot\vec{v} = v_x^2+v_y^2+v_z^2$ que sigue teniendo las unidades de velocidad al cuadrado. En cuatro dimensiones, $\vec{v} = v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z}+v_w\hat{w}$ y $\vec{v}\cdot\vec{v}=v_x^2+v_y^2+v_z^2+v_w^2$ que, de nuevo, sigue teniendo las unidades de velocidad al cuadrado. Esto se debe a que la suma de dos cantidades con las mismas unidades no cambia sus unidades. De hecho, esto es válido para cualquier número de dimensiones, y sugiere que las unidades de energía no deberían cambiar.

También podemos ver esto de forma más general por la definición formal de trabajo, que es la definición de cambio de energía:

$$W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{s}$$

para un objeto sobre el que actúa una fuerza $\vec{F}$ desplazarse a lo largo de un camino $C$ con el parámetro arclength $d\vec{s}$ . Esta es la definición formal y más general, y es válida independientemente del número de dimensiones del espacio. Una vez más, puedes ver que esta definición implica un producto punto. El producto punto toma dos vectores en cualquier y da como resultado una cantidad unidimensional (es decir, un número). El trabajo sólo se preocupa de un componente de la fuerza, el que apunta a lo largo de la trayectoria unidimensional que sigue la partícula. No importa en cuántas dimensiones espaciales se inscriba esta trayectoria unidimensional, el trabajo sólo se preocupa de lo que ocurre a lo largo de una de esas dimensiones. Por lo tanto, las unidades de trabajo deben ser siempre las mismas y, puesto que el trabajo tiene las mismas unidades que la energía (si no, no podríamos sumarlas), las unidades de energía también deben ser siempre las mismas.

Answer 2

La mecánica clásica ya es (efectivamente) multidimensional.

Consideremos la ecuación de movimiento de una partícula en una dimensión: \begin {align} m \ddot x(t) = F(x). \end {align} Consideremos ahora la ecuación de movimiento de una partícula en dos dimensiones, \begin {align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y) \\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y), \end {align} y en tres dimensiones \begin {align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y,z) \\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y,z) \\ m \ddot z(t) & = F_z(x,y,z). \end {align} Consideremos ahora la ecuación de movimiento de dos partículas en una dimensión, \begin {align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{1}(x_1,x_2) \\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{2}(x_1,x_2), \end {align} o en dos dimensiones, \begin {align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{x,1}(x_1,y_1,x_2,y_2) \\ m_1 \ddot y_1(t) & = F_{y,1}(x_1,y_1,x_2,y_2) \\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{x,2}(x_1,y_1,x_2,y_2) \\ m_2 \ddot y_2(t) & = F_{y,2}(x_1,y_1,x_2,y_2), \end {align} o tres, \begin {align} m_1 \ddot x_1(t) & = F_{x,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2) \\ m_1 \ddot y_1(t) & = F_{y,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2) \\ m_1 \ddot z_1(t) & = F_{z,1}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2) \\ m_2 \ddot x_2(t) & = F_{x,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2) \\ m_2 \ddot y_2(t) & = F_{y,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2) \\ m_2 \ddot z_2(t) & = F_{z,2}(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2). \end {align}

El patrón debería ser bastante obvio: añadir dimensiones espaciales es idéntico a añadir partículas, y la mecánica clásica ya está perfectamente equipada para manejar dimensiones adicionales, de modo que, por ejemplo, si se añade una cuarta dimensión espacial, las ecuaciones de movimiento \begin {align} m \ddot x(t) & = F_x(x,y,z,w) \\ m \ddot y(t) & = F_y(x,y,z,w) \\ m \ddot z(t) & = F_z(x,y,z,w) \\ m \ddot w(t) & = F_z(x,y,z,w) \end {align} tendría una forma exactamente idéntica a la de dos partículas en dos dimensiones.

¿Qué significa esto para la energía? Bueno, siguiendo el principio básico de que

Las mismas ecuaciones tienen las mismas soluciones y las mismas propiedades,

la dinámica en cuatro dimensiones espaciales tendrá una energía conservada que es exactamente análoga a la de dos partículas en dos dimensiones, $$ E = \frac12 m_1 \dot x_1^2 + \frac12 m_1 \dot y_1^2 + \frac12 m_2 \dot x_2^2 + \frac12 m_2 \dot y_2^2 + V(x_1,y_1,x_2,y_2) $$ es decir, una energía conservada de la forma $$ E = \frac12 m \dot x^2 + \frac12 m \dot y^2 + \frac12 m \dot z^2 + \frac12 m \dot w^2 + V(x,y,z,w) $$ donde $V(x,y,z,w)$ es una energía potencial. Esto debería dejar claro que la dimensionalidad física de la energía, $$ [E] = [ML^2T^{-2}], $$ no se modifica por el proceso - y su forma a partir de la mecánica clásica "normal" ya incorpora plenamente los efectos que abarcan tantas dimensiones espaciales como se quiera.