En la exactitud de las fórmulas de cálculo

Question

Son fórmulas de cálculo, la diferenciación y la integración, fórmulas exactas o algunas aproximaciones involucradas?

Es decir, es el valor de una integral definida de una función el exacto valor de la (firmado) el área entre la gráfica y el eje o sólo es cualquier aproximación, y lo mismo para el valor de la derivada y la pendiente de la tangente en este punto.

La pregunta que surge al introducir estas nociones aproximaciones son a menudo central, digamos, a través de las sumas de Riemann. Ahora no es claro si la integral definida es otro (a veces más viable) de manera de obtener una aproximación o si es exacto y lo mismo para los derivados y la pendiente de la tangente.

Answer 1

Dado $a<b$ y una función continua $f:\>[a,b]\to{\mathbb R}$ integral $$\int_a^b f(x)\>dx$$ es un claro número real, es decir, un cierto elemento de el conjunto ${\mathbb R}$. Este número puede ser familiar para usted, como ${7\over 13}$, $\sqrt{5}$, o $\pi$. Pero tal vez que nunca antes lo ha "producido" en matemáticas.

Es la definición de este número como un límite de sumas de Riemann que utiliza aproximaciones; pero una vez que esta definición es adoptado no es cuestión de algo de pescado "aproximación" que participan más.

Queda, sin embargo, el siguiente problema: Su función $f$ puede ser una simple expresión analítica, como $f(x):=e^{-x^2/2}$, y la científica calculadora de bolsillo no tiene la primitiva de esta $f$ en la tienda, ya que no es "elemental". Como consecuencia de la calculadora sólo pueden emitir una aproximación numérica de la integral $$\int_0^1 e^{-x^2/2}\>dx\ ,\tag{1}$$ y no puede dar un valor en términos de "estándar" de funciones y constantes, como $\exp$, $\cos$, $\pi$, $\sqrt{2}$, etc. Sin embargo, la expresión de $(1)$ define un cierto número real $\xi$ exactamente, es decir, a la "infinidad" de lugares decimales.

Answer 2

La respuesta corta. Sí, todas estas fórmulas son exactas en un sentido que siempre ofrecen una forma de conseguir como cerca de el resultado deseado como usted desea.

Esto es muy diferente de las aproximaciones en general, ya que a menudo son limitados en cuanto a su exactitud (por ejemplo, sólo se dan los límites superior e inferior para un número al que desea obtener).

El cálculo de las fórmulas pueden también ser dicho para ser exactos , por definición, es decir, la fórmula puede ser utilizada para definir el objeto que se aplica.

Como ejemplo de esta diferencia que puede dar de dos formas de calcular el coseno:

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

$$\cos x \approx 2 \left(2 \left(2 \left(2 \left(2 \left(1-\frac{x^2}{2^{11}} \right)^2-1 \right)^2-1 \right)^2-1 \right)^2-1 \right)^2-1$$

La primera es exacta, lo que significa que si seguimos agregando nuevos términos a la secuencia para siempre, vamos a obtener infinitamente cercano al valor de $\cos x$.

Por otra parte, esta es una definición de $\cos x$, es decir, esta fórmula es exacta, por definición.

La segunda es sólo una aproximación, creado por el uso repetido de la doble ángulo de fórmula y replasing la $\cos (x/2^n)$ con los dos primeros términos de la anterior serie. Si ahora tratamos de seguir haciendo esto para siempre, eventualmente se llega $x^2/2^{\infty}=0$ dentro del soporte y nuestra aproximación se producirá un error, que nos da exactamente $1$ para cualquier valor de $x$.

Hay otros ejemplos de curso.

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Creo que tu pregunta es realmente acerca de los límites. Refresque sus conocimientos sobre las secuencias y los límites y usted podría encontrar una respuesta a su pregunta a sí mismo.

Preguntas adicionales que están conectados a esta:

• ¿Qué es el infinito?

• ¿Qué es un número irracional?

• ¿Qué es una curva?

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La respuesta larga.

La noción de conmensurabilidad de los segmentos de línea es importante. Si la relación de las longitudes de los dos segmentos de líneas es racional, entonces podemos usar uno de ellos a medida que los otros. Sin embargo, este no es siempre el caso de que esta diagonal paradoja ilustra:

Así nos presentan a los números irracionales. Son exactas? Así, cualquier número entero es exacta, por definición, y por lo tanto son números racionales, si definimos como un par de números enteros.

Un número irracional no puede ser representado por $\frac{m}{n}$ $m, n$ ser números enteros, pero que siempre puede ser representado como $\lim_{k \to \infty} \frac{s_k}{S_k}$ $s_k$ $S_k$ dos secuencias de números enteros ir a $\infty$ a ligeramente diferentes velocidades.

Así que, básicamente, un número irracional describe una clase de secuencias, todos vamos para el mismo límite.

Por ejemplo:

$$\int_{0}^1 \frac{\ln x}{x-1} dx=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

Aquí dos secuencias pertenecen a una determinada clase de secuencias convergentes hacia el mismo límite de $\frac{\pi^2}{6}$. Nada más, nada menos.

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Ahora sobre tangentes y áreas. ¿Cómo se puede describir una curva suave? Como un límite de una secuencia de segmentos de línea conectados progresivamente de menor duración.

Entonces, ¿qué es una tangente, entonces? Es una línea recta pasando por uno de los segmentos de línea. Si el número de segmentos aumenta hasta el infinito, mientras que su longitud es cero, la línea tiene una tangente en cualquier punto (o eso nos gusta pensar).

Ver la foto de abajo de un círculo.

Una vez que hemos aprendido a definir la longitud de cualquier segmento de línea recta en términos de algún segmento de línea, podemos pasar a definir la longitud de una curva y el área debajo de los límites.

Answer 3

Deje $f(x)= x^3$, por lo que el $f'(x)=3x^2$, e $f(2)=8$$f'(2)=12$.

La pregunta sería sobre el número de $12$: ¿Es exacta? Al$x=2$$f(x)=8$, entonces es $f(x)$ cambiar exactamente $12$ veces más rápido de lo $x$ está cambiando?

La respuesta es "sí". Considere la posibilidad de $12\pm0.000000001$ en la Primera, cada número no entre los dos puede ser descartada como el valor de $f'(2)$ considerando los valores de $x$ mentira lo suficientemente cerca como para $2$ (que no sería difícil de averiguar cuán cerca está lo suficientemente cerca, pero en este momento yo no he hecho eso. Que podría hacer $12$ parecen ser una aproximación: sólo sabemos que estamos buscando un número entre el $12\pm0.000000001$. Pero, a continuación, considere la posibilidad de $12\pm0.000000000000000000001$. Podemos descartar que cada número no entre los centrándose en un intervalo menor acerca de $x=2$. Y así sucesivamente. Se puede demostrar que no importa cuán pequeño $\varepsilon$ es, podemos descartar todos los números que no se entre $12\pm\varepsilon$ considerando lo suficientemente pequeño intervalo acerca de $x=2$. Cómo de pequeño es lo suficientemente pequeño depende de cómo de pequeño es $\varepsilon$ es. Por lo tanto no hay otro número de $12$, no importa qué tan cerca de $12$, no puede descartarse.

Aquí está una manera de ver cómo descartar otros números de $12$. El punto de $(2,f(2)) = (2,8)$ está en la gráfica de la función. Así que cada línea que pasa a través de ese punto es de la forma $y-8 = m(x-12)$. Si $m$ no es exactamente $12$, queremos mostrar que es demasiado grande o demasiado pequeño como para ser la pendiente en ese punto. Simplemente, si $m>12$, entonces existe un intervalo alrededor de a $x=2$ dentro de la cual la línea de $y-8=m(x-2)$ se encuentra por encima de la curva de $y=x^3$ al $x>2$ y por debajo de la curva de al $x<2$. Que al menos significa que $12$ no es demasiado grande para ser la pendiente en ese punto. Pero si $m<12$, entonces existe un intervalo alrededor de a $x=2$ dentro de la cual la línea de $y-8=m(x-2)$ se encuentra por debajo de la curva de al $x>2$ y por encima de la curva de al $x<2$. Eso significa que $12$ no es demasiado pequeño como para ser la pendiente. Y uno puede mostrar que cada vez el número de $>12$ es en ese sentido demasiado grande y cada número $<12$ es en ese sentido demasiado pequeño. Sólo $12$ permanece como el único que no se descarta que demasiado grande o demasiado pequeño.

Cosas similares se aplican a las integrales.