¿Por qué no hay espacio cuyo doble es$C_\mathbb{R}[0,1]$?

Question

Posibles Duplicados:
$C_0(X)$ no es el doble de una completa normativa espacio
Es cualquier espacio de Banach una doble espacio?

Mientras estudiaba un curso de análisis funcional leí en algún lugar que no existe ninguna normativa espacio vectorial $X$$X^*=C_\mathbb{R}[0,1]$. También he encontrado lo que a primera vista parece una completa prueba de este hecho:

Asumir que hay un espacio de $X$, luego por el teorema de Alaoglu la unidad cerrada balón $B^*$ $X^*$ es débil* compacto. La única extremal puntos de $B^*$ son las constantes de las funciones de $f(x) = \pm 1$, y sus cerrado convexo casco no es todo de $B^*$. Esto es una contradicción de Krein-Milman del teorema.

Ahora, tengo un problema con esta prueba: para aplicar Krein-Milman a un conjunto que necesita para ser convexo y compacto con respecto a la topología inducida por la norma, al menos de acuerdo a la forma en que generalmente se indica. Mi hipótesis es que en realidad se puede aplicar a conjuntos que sólo se compacta en la débil* topología. ¿Es esto cierto? ¿Cómo demostrarlo?

Answer 1

Kerin-Milman es un teorema sobre espacios vectoriales topológicos convexos localmente. Las topologías débil y débil * son espacios vectoriales topológicos de este tipo. A saber, no es necesario que la norma sea compacta.