Si $f(x)<g(x)$ demostrar que $\lim f(x)<\lim g(x)$

Question

Tengo esta pregunta:

Dejemos que $f(x)A$ y $g(x)B$ como $xx_0$ . Demostrar que si $f(x) < g(x)$ para todos $x(x_0, x_0+)$ (para algunos $ > 0$ ) entonces $A\leq B$ . En este caso, ¿es siempre cierto que $A < B$ ?

He intentado jugar con la definición de los límites pero no consigo nada. ¿Puede alguien darme una pista de por dónde empezar?

Answer 1

SUGERENCIA: Supongamos que $A>B$ y que $\epsilon=\frac12(A-B)>0$ . Demuestre que hay un $\delta>0$ tal que $f(x)>A-\epsilon=B+\epsilon>g(x)$ para todos $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ Esto contradice la hipótesis de que $f(x)<g(x)$ en un intervalo abierto alrededor de $x_0$ . (¿Por qué?)

Es fácil encontrar ejemplos en los que $A=B$ . Puede hacerlo con $f(x)=0$ De hecho.

Answer 2

Para demostrar que no siempre es así $A<B$ puede presentar un ejemplo para demostrar que es posible que $A = B$ . Así que si dejamos que $f(x) = (\frac{1}{x})^2$ y $g(x) = (\frac{1}{x})^4$ Sabemos que $f(x) < g(x)$ $\forall x \in (-1,1)$ . Y sabemos que $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} g(x) = \infty$ por lo que es posible que $A=B$ .

Observe que el intervalo que le he dado arriba es de la forma $(x_0-,x_0+)$ que se centra en $x_0$ (distinguiendo esto de otras respuestas).

Answer 3

Reclamación: Que $k\colon\mathbb R \rightarrow\mathbb R$ sea una función tal que $\forall x \in\mathbb R\colon k(x)>0 $ y dejar para $x=a$ el $\lim_{x \rightarrow a} k(x)$ existe. Entonces este límite es mayor o igual a $0$ .

Prueba: Sea el límite $l$ y asumir que $l<0$ . Por la definición de límites sabemos que $\forall \epsilon>0 \exists \delta(\epsilon)>0 $ de manera que siempre que $0<|x-a|<\delta(\epsilon)$ entonces $|k(x)-l|<\epsilon$ .

Ahora tomando $\epsilon=-l/2$ y quitando el módulo de la desigualdad tenemos $3l/2<k(x)<l/2$ para todos $x $ tal que $0<|x-a|<\delta(-l/2)$ . Esto contradice la suposición y demuestra la afirmación.

Ahora tomando $k(x)=g(x)-f(x)$ y utilizando el álgebra de límites obtenemos el resultado requerido. Ambos límites pueden ser iguales.

Por ejemplo, llevar el dominio a $(0,\infty)$ , $g(x)=3^x$ , $f(x)=2^x$ y $a=0$ .

Answer 4

Este es un problema estándar que utiliza $\epsilon-\delta$ definición. Se puede asumir $B=0$ sustituyendo $f'=f-g,g'=g-g=0$ . Entonces se encuentra en la situación de que $f'<0$ para todos $x$ en $x_{0}$ de un vecindario lo suficientemente pequeño, entonces $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f'<0$ también. No es difícil construir una prueba basada en la contradicción. Por ejemplo, considere una traducción de la afirmación anterior en $f'<\epsilon$ en el vecindario para cualquier $\epsilon>0$ . Entonces, si $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f'>0$ ¿Qué te dice esto?

Answer 5

Bastante obvio a partir de la definición de continuidad. Por continuidad, $\forall \epsilon$ existe $\delta$ s.t $x\in B_{\delta}(x_0) \implies|f(x)-A|<\epsilon$ y $|g(x)-B|<\epsilon$ y así tenemos $ B-\epsilon<g(x) \ \text{and} f(x)<\epsilon +A$ así que $ B<2\epsilon +A \ \forall \epsilon >0$ . Desde $\epsilon$ es arbitraria por lo que concluimos que $B<A$ . Pero no estoy seguro de lo que falta, no estoy seguro de por qué no pude probar eso $A=B$