Pregunta de geometría del mundo real: puerta de garaje

Question

Tengo una puerta de garaje que representado por la mala calidad de dibujo de arriba.

Cuando la puerta (barra roja) es cerrado, es vertical, la parte inferior es en la posición de B0 y superior en T0.

Cuando abro la puerta, la parte inferior se desliza hacia arriba verticalmente, la parte superior se desliza a la derecha en horizontal.

En la posición B1/T1, la puerta está en un 30 grados de ángulo de es cerrado (vertical). Cuando en la posición B2/T2, en un ángulo de 60 grados.

Cuando está totalmente abierta, la puerta es horizontal, la parte inferior está en T0.

Quiero construir una estantería que se ajuste debajo de la puerta, por lo que los estantes no deben llegar a la zona violeta en el dibujo.

Quiero encontrar una ecuación que define la frontera entre el morado y el blanco de la zona, por lo que puede utilizarla para calcular mi estantes de la altura máxima, dada su posición x en el suelo.

Esto es en realidad una cuestión práctica, de modo que la llanura respuesta es bien pero algunos detalles me va a ayudar, al menos para deshacerse del polvo en mi geometría.

Answer 1

Creo que la ecuación es $x^{2/3}+y^{2/3}=1$.

$\color{blue}{\text{The door has length $1$, so if the ends are at $(X,0)$ and $(0,Y)$, we have $X^2+Y^2=1$, so for some $\theta$,}}$
los extremos de la puerta están en$(\cos\theta,0)$$(0,\sin\theta)$.
$\color{blue}{\text{The equation of the line through those points is}}$
La ecuación de la puerta es $\frac x{\cos\theta}+\frac y{\sin\theta}=1$.
$\color{blue}{\text{We want the equation of the curve cut out by the door. }}$ $ \color{blue}{\text{Tomar un valor de $x$, y encontrar el mayor $y$ alcanzado por la puerta como $\theta$ varía. }}$
Escribir la ecuación de la puerta, $$y=\sin\theta\left(1-\frac x{\cos\theta}\right)=\sin\theta-x\tan\theta$$ El mayor $y$ valor $\theta$ gira, es cuando $$0=\frac {dy}{d\theta}=\cos\theta -x\sec^2\theta\\x=\cos^3\theta\\y=\sin\theta\left(1-\frac x{\cos\theta}\right)=\sin^3\theta$$ $\color{blue}{\text{So the $s$ is highest when $\theta$ is the angle for which $x=\cos^3\theta$; the height it reaches is $\sin^3\theta$}}$
De modo que la forma trazada es $(\cos^3\theta,\sin^3\theta)$ o $x^{2/3}+y^{2/3}=1$.

Answer 2

En cada momento, la puerta es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es decir, si el borde horizontal es $a$ y el vertical es $b$ entonces siempre tenemos $a^2+b^2=c^2$, con una variación $a,b$, pero con fijo $c$. Tomando el vértice origen, un punto de $(x,y)$ ($x>0$, $y<0$) es sobre la hipotenusa si $\frac ab=\frac{x}{b+y}$. Por lo $$ y=\frac{bx}{a}-b.$$ Como podemos escribir $a=c\cos \phi$, $b=c\sin\phi$ para un adecuado ángulo de $\phi$, obtenemos $$ y=x\tan \phi-c\sin \phi.$$ Podemos obtener diversos $y$ para el mismo $x$ porque cambia mientras la puerta se mueve. Tenemos que buscar el mínimo valor de $y$ por cada $x$. Esto se puede encontrar la configuración de la derivada (con respecto a $\phi$ cero: $$ \frac x{\cos^2\phi}-c\cos\phi=0, $$ por lo $\cos\phi=\sqrt[3]{\frac xc}$. Esto hace que (con signo correcto) $\sin \phi=\sqrt{1-\sqrt[3]{\frac xc}^2}$, por lo que $$ \begin{align}y&=\frac{\sqrt{1-\sqrt[3]{\frac xc}^2}}{\sqrt[3]{\frac xc}}\cdot x-\sqrt{1-\sqrt[3]{\frac xc}^2}\cdot c\\ &=\sqrt{\sqrt[3]{{c^2}{x^4}}-x^2}-\sqrt{c^2-\sqrt[3]{x^2c^4}} .\end{align}$$ Curiosamente, este puede ser simplificado (cf. Michael's respuesta) $$ y=-\sqrt{(\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{x^2})^3}.$$

Answer 3

Vamos a la altura de la puerta se $h$ y el sistema de coordenadas tiene $x=0$ el plano vertical a la izquierda con $x=h$ la derecha (parte superior) final de la puerta cuando está abierta. Deje $y=0$ ser el techo y deje $y$ de aumento hacia abajo. Considere la posibilidad de un punto de F en $(a,0)$. Cuando la parte superior de la puerta es en $(b,0)$, la parte inferior es en $(0,\sqrt{h^2-b^2})$ $y$ coordenadas de G es, a continuación, en $\frac {b-a}b\sqrt{h^2-b^2}$ mientras $b \ge a$ Tomando la derivada y ajuste a cero da $ah^2=b^3$ o $b=(ah^2)^{1/3}$ y necesita ser $(1-(\frac ah)^{2/3})\sqrt{h^2-(ah^2)^{2/3}}$ hacia abajo desde el techo. No se olviden de la altura de las cosas en el estante. La posición original de la puerta es AB, el final es BC. El $a$ está representado por el punto F, $b$ está representado por Correo y estamos buscando para encontrar FG en la dirección de la posición que se maximiza. EFG y EBD son triángulos rectángulos semejantes.