equivalencia de espacios de Hilbert

Question

la pregunta puede ser tonta, pero estoy confundido.

Consideremos el siguiente espacio de Hilbert $l_{2}^{W}$, el espacio de secuencias infinitas con un producto escalar: $$ <X,Y> = \sum_{i=1}^{\infty}x_{i}y_{i}w_{i}, $$ para algunos vectores $W= (w_{1},w_{2}, \dots)$$0 < w_{i} < \infty$$\limsup w_{i} < \infty$. Yo intento de mostrar que todos los espacios de $l_{2}^{W}$ son todos equivalentes, es decir, las normas generadas por el producto escalar son equivalentes: para cualquier $W_{1}$ $W_{2}$ existe $0 < C_{1} < C_{2}$ tal que $C_{1} ||X||_{W_{2}} \leq ||X||_{W_{1}} \leq C_{2} ||X||_{W_{2}} $.

Se debe imponer más restricciones sobre el vector de pesos de entonces?

Answer 1

Es suficiente para demostrar $C_1\|X\|_{\ell^2}\leq \|X\|_{W}\leq C_2\|X\|_{\ell^2}$ donde $\|X\|_{\ell^2}$ es la norma común en $\ell^2$. A continuación, $\|\cdot\|_{\ell^2}$ $\|\cdot\|_W$ son equivalentes. Se puede concluir que el $\|\cdot\|_{W_1}$ $\|\cdot\|_{W_2}$ son equivalentes ya que ambos son equivalentes a $\|\cdot\|_{\ell^2}$.

Como Aweygan notado es crucial para asumir la $\inf_i w_i>0$. Para $W=\left(\frac1i\right)_i$ es $$ e_n=(0,\ldots,0,\underbrace{1}_{n\text{.th}},0,\ldots) $$ convergente a$0$$\|\cdot\|_W$, mientras que en $\|\cdot\|_{\ell^2}$ no ha convergente larga.

Ahora si $W=(w_i)_i$ una secuencia en la que $0<\inf_i w_i$ $\sup w_i<\infty$ consigue $$ \|X\|_W=\sum_{i=1}^\infty x_i^2w_i\geq\sum_{i=1}^\infty x_i^2(\inf_k w_k)=(\inf_k w_k)\sum_{i=1}^\infty x_i^2 =(\inf_k w_k)\|X\|_{\ell^2} $$ y $$ \|X\|_W=\sum_{i=1}^\infty x_i^2w_i\leq\sum_{i=1}^\infty x_i^2(\sup_k w_k)=(\sup_k w_k)\sum_{i=1}^\infty x_i^2 =(\sup_k w_k)\|X\|_{\ell^2} $$ La definición de $C_1=\inf_k w_k>0$ $C_2=\sup_k w_k>0$ los rendimientos de la demanda.