es $W_0^{1,p}(\Omega)$ débilmente cerrado? $W_0^{1,p}(\Omega)$ es el cierre de $C_0^{\infty}(\Omega)$ con respecto a la norma de $W_0^{1,p}(\Omega)$, y he estado tratando de averiguar si es cierto que si tenemos una secuencia $u_n\in W_0^{1,p}(\Omega)$ que converge débilmente a$u\in W^{1,p}$$u\in W_0^{1,p}$. (Por la debilidad de la convergencia en $W^{1,p}$ me refiero a la debilidad de la convergencia en $L^p$ tanto $u_n$$\nabla u_n$)
La única cosa que podía pensar era aproximado de cada una de las $u_n$ con una secuencia $(u_n^k)_k\in C_0^{\infty}$. Luego por la Sobolev la incrustación de teoremas tenemos que la debilidad de la convergencia de $\nabla u_n$ $L^p$ implica una fuerte convergencia de $u_n$$L^p$, por lo que debe ser posible aproximar $u$ $C_0^{\infty}$ funciones en el $L^p$ norma. Pero, ¿qué acerca de los derivados? Espero no haber sido demasiado confuso, gracias.
