Secuencia decreciente de medidas

Question

Para $(X,\mathcal{F})$ un espacio de medidas, sé que si tenemos $\mu_{n}(A) \searrow$ es decir, es una secuencia decreciente de medidas para cada $A \in \mathcal{F}$ y $\mu_{1}(X) < \infty$ entonces $\mu = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu_{n}$ no es una medida.

El problema pide un contraejemplo. Estoy luchando por encontrar un contraejemplo para esto y agradecería alguna ayuda. Este problema viene de un capítulo temprano en el libro antes de cualquier discusión de la medida de Lebesgue, por lo que debería ser posible llegar a un contraejemplo utilizando sólo las medidas discutidas en ese punto que son la medida de conteo o medida de Dirac y combinaciones lineales de medidas.

Se agradecería una pista.

Edición: Estoy empezando a pensar que esto puede ser realmente una medida si $\mu_{1}(X) < \infty$ . ¿Es este el caso?

Answer 1

Dejemos que $\mu_0$ asignar la medida 1 a cada punto de $\mathbb{N}$ . Dejemos que $\mu_n$ asignar la medida 1 a $n,n+1,\ldots$ y cero en el resto. Claramente $\mu_n$ es decreciente. Por otro lado, observe que $\mu_n(\mathbb{N})=\infty$ lo que implica $\mu(\mathbb{N})=\infty$ Sin embargo $\lim_{n\rightarrow\infty}\mu_n(\{k\})=0$ para cada $k\in\mathbb{N}$ lo que implica $\mu(\{k\})=0$ . Esto romperá la aditividad contable.

Contrasta esto con un aumentando familia de medidas, donde se puede utilizar el teorema de convergencia monótona para verificar la aditividad contable.

Answer 2

Creo que restringirse a medidas finitas obliga a $\mu$ para ser una medida. No puedo demostrarlo con lo que ya se sabe, y sospecho que Alex R ha dado con el contraejemplo preciso que se esperaba. Pero en fin...

Dejemos que $m = \mu_1$ y $f_n = \frac{d \mu_n}{d m}$ . La secuencia $\{f_n\}$ es integrable, decreciente y monótona, y está limitada por debajo por $0$ por lo que converge puntualmente a una función $f$ . Podemos definir una medida $\mu$ sea tal que $\mu(A) = \int_A f dm$ . Por el teorema de convergencia monótona de Lebesgue, para cualquier medida $A$ , $$\lim_{n\to \infty} \mu_n(A) = \lim_{n\to \infty}\int_A f_n dm = \int_A f dm = \mu(A)$$ que es como se requiere.

Utilizamos la finitud de las medidas cuando decimos que el $f_n$ son integrables. Sin eso, puedes obtener el tipo de casos patológicos, como los ilustrados por Alex R.