Longitudes de los lados y diagonales de los cuadriláteros y

Question

Esta pregunta de la siguiente manera a partir de otra pregunta que me he pedido en triángulos Longitud de los lados de un triángulo y el área

Deje $P_1$ $P_2$ dos cuadriláteros convexos tal que $P_1\neq P_2$$Area(P_1)\ge Area(P_2)$. Es cierto que no es posible que todos los lados y diagonales de $P_1$ son más cortos que los correspondientes lados y diagonales de $P_2$?

Esta frase parece verdad para mí, voy a explicar mi razonamiento. Supongamos que todos los cuatro lados y una diagonal de $P_1$ son más cortos que los lados correspondientes y diagonal de $P_2$. Entonces, como se explica en la respuesta a mi pregunta, los dos triángulos que se triangular $P_2$ debe ser "más plano" (de lo contrario no es posible $Area(P_1)\ge Area(P_2)$). A partir de esto se deben seguir los que la otra diagonal de $P_1$ es mayor que el correspondiente de la diagonal de a $P_2$.

¿Crees que es correcto? Me puedes ayudar a la formalización?

Edit: siguiente usuario Raffaele la sugerencia de que el check out a las fórmulas en esta página de la wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral#cite_note-10pero ninguno de ellos parece útil para resolver este problema

Answer 1

Que es posible que $Area(P_1)\ge Area(P_2)$, mientras que a cada lado y en cada diagonal de $P_1$ es estrictamente menor que el correspondiente de $P_2$.

Tomemos, por ejemplo, $P_1$ a ser un cuadrado de lado a $1\,$. Tome $P_2$ a ser un trapecio isósceles con la base pequeña y la no-lados paralelos iguales a $2$. Aplanar el trapecio, manteniendo los tres lados de la misma longitud $2$. En el límite de la gran base tiende a $3\cdot 2=6$, las diagonales tienden a $2 \cdot 2 = 4\,$, y el área tiende a $0\,$, sin embargo, todos los lados y diagonales de $P_2$ son estrictamente mayores que los de $P_1$. Aún más, cualquier lado o en diagonal de $P_2$ es estrictamente mayor que el de cualquier otro lado o en diagonal de $P_1$.