Demostrar que un conjunto de parábolas es incontable

Question

Me dieron esta pregunta para preparar un examen:

Demuestre que el conjunto de todas las funciones $f(x)$ tal que $f''(x)$ = -3 en ( $-\infty$ , $\infty$ ) es incontable.

Sé que esto me da un conjunto de parábolas $f(x) = -\frac{3}{2}x^{2} + ax + b$ pero no estoy seguro de cómo demostrar que este conjunto es incontable. Pensé que podría encontrar una correspondencia entre las raíces de la parábola y los números reales, pero no hay garantía de que haya raíces. ¿Determinarían a y b una parábola única, o es un número insuficiente de puntos?

¿Alguien podría darme una pista para resolver esto, pero no la solución?

edit: Gracias por tu ayuda, he construido la siguiente biyección para demostrar que el conjunto de estas funciones es equivalente al plano real.

Sea z : $\mathbb{R^2}$ $\to$ A, donde A es el conjunto de estas funciones y z(a,b) = $ -\frac{3}{2}x^{2} + ax + b$ . Entonces z es claramente una biyección y por tanto A es incontable.

Answer 1

La parábola determinada por $a,b$ como en su fórmula es único. Esto se establece trivialmente por el hecho de que un polinomio de grado dos está determinado por sus valores en tres puntos (y tienes incontables para elegir).

Answer 2

Se puede establecer $a = 0$ entonces el $y$ -La intersección de la parábola sólo depende de $b$ y da una biyección con opciones de $b$ . Que dos opciones de $b$ dar distintas parábolas es sencillo: todas ellas son traslaciones verticales entre sí y todas estas parábolas son funciones. Tienes innumerables opciones distintas para $b$ Así que hay al menos esa cantidad de parábolas en la colección.

Esto es generalmente cierto -- el conjunto de traslaciones verticales de una función cubre la franja vertical que contiene el dominio de la función con incontables copias trasladadas. Se puede ver esto eligiendo un punto en el dominio y observando que cada par con traslación no nula tiene valores distintos en ese punto.

Answer 3

Usted tiene $f(x) = \frac{-3}{3}x^2+ax+b$ . Obsérvese que cada par de $a,b$ le da una función diferente $f$ . ¿Por qué? Porque una función polinómica está determinada unívocamente por sus coeficientes, es decir, si tenemos dos polinomios $f$ y $g$ y tienen los mismos valores en todas partes, entonces tienen los mismos coeficientes. Esto es cierto para los polinomios con coeficientes en un campo infinito. Así que, ahora tienes una biyección desde $\mathbb R^2$ a su conjunto de polinomios. Ya que, $\mathbb R^2$ es incontable. Su conjunto de polinomios también es incontable.