¿Cómo puedo demostrar que $n=2$ es el único número entero que satisface : $\cos^n\theta+ \sin^n\theta=1$ para todos $\theta$ ¿real o complejo?

Question

Es bien sabido que : $\cos²\theta+ \sin²\theta=1$ para todos $\theta$ real o complejo, me gustaría preguntar sobre la igualdad general: $\cos^n\theta+ \sin^n\theta=1$ si hay otros valores del entero positivo $n$ que $n=2$ para lo cual : $$\cos^n\theta+ \sin^n\theta=1$$ para todos $\theta$ ¿Real o complejo?

probablemente la pregunta equivalente es hacer esta pregunta :

Pregunta :¿Cómo puedo demostrar que $n=2$ es el único número entero que satisface : $$\cos^n\theta+ \sin^n\theta=1$$ para todos $\theta$ ¿Real o complejo?

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Dejemos que $\theta=\pi/4$ y evaluar.

Answer 2

Intenta diferenciar ambos lados: $$\begin{align}\sin^nx+\cos^nx &= 1 \\ \implies \frac{d}{dx}\left(\sin^nx+\cos^nx\right) &= 0 \\ n(\sin x)^{n-1} \cos x-n(\cos x)^{n-1}\sin x&=0 \\ (\tan x)^{n-1}&=\tan x \\\end{align}$$

$$ \implies n-1=1 \\ {n = 2}$$