¿De cuántas maneras pueden sentarse siete personas alrededor de una mesa circular?
Al principio, pensé que era $7!$ (el número de formas de sentarse en siete sillas), pero la respuesta es $(7-1)!$ .
No entiendo en qué se diferencian sentarse alrededor de una mesa circular y sentarse en siete sillas. ¿Puede alguien explicarlo, por favor?
En un disposición circular primero tenemos que fijar la posición para el primera persona que se puede realizar en sólo una vía (ya que cada posición se considera mismo si no hay nadie sentado en ninguno de los asientos), también, porque no hay marca en las posiciones .
Ahora, también podemos suponer que las personas restantes deben sentarse en un línea porque hay un fijo inicio y finalización punto es decir, a la izquierda o a la derecha del primera persona .
Una vez que hayamos fijado la posición para el primera persona ahora podemos arreglar el resto de $(7-1)$ personas en $(7-1)!= 6!$ formas.
También puedes pensarlo así. En una línea recta (es decir, sentando a siete personas en siete sillas una al lado de la otra), hay claramente $7!$ formas. Pero cuando se juntan en un círculo, una rotación sigue contando la misma forma de sentar a todos. Observará que hay $7$ rotaciones posibles en este caso (ya que siete sillas). Así que dividimos el resultado de la recta en $7$ grupos. Esto es $7!/7 = 6! = (7-1)!$ . Esta idea también se denomina permutación circular.
Primero se sienta una persona: sólo hay una forma posible de que se siente, ya que los asientos son idénticos. Ahora el resto de los asientos difieren, ya que una nueva persona puede sentarse a la derecha o a la izquierda (en el sentido de las agujas del reloj) de la primera persona, por lo que hay $6!$ formas de $6$ personas que se sitúan alrededor de la mesa (con un lugar ya ocupado por la primera persona). Por lo tanto, hay $1 \times 6!$ formas para que la gente se siente alrededor de una mesa circular.
Antes de abordar esta cuestión es importante ver la diferencia entre dos problemas muy similares. Sentar a 7 personas en una mesa en la que cada asiento está numerado, y sentar a 7 personas en una mesa en la que las sillas no están numeradas. Al sentarnos en una mesa con sillas no numeradas querremos empezar por colocar a la primera persona. Al principio puedes pensar que tienes 7 lugares para sentarlo. Pero como la mesa no está numerada, cualquier lugar en el que decidas colocarlo es en realidad idéntico. Esto se debe a que si giras cualquier círculo, puedes llegar a la misma mesa. Por eso no tiene importancia el lugar en el que coloques a la primera persona. Después de colocar a la primera persona, sus colocaciones empiezan a tener importancia.
¡Y si las sillas están numeradas es el 7! Ya que es un problema idéntico al de alinear a 7 personas.
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