Encontrar la suma de una serie alterna

Question

Quiero encontrar la suma de $$ \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {(-1)^{n+1}}{n^2}$$ Sé que esto es igual a $ \frac { \pi ^2}{12}$ así que estaba pensando que esto debe ser sólo una serie a medida de alguna función trigonométrica, pero después de buscarla, parece que no puedo encontrar una que satisfaga esto. Cualquier sugerencia es muy apreciada.

Desde abajo el usuario declara que $$ \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {(-1)^{n+1}}{n^2} = \sum_ {n=0}^{ \infty } \left ( \frac {1}{2n+1} \right )^2 - \sum_ {n=1}^{ \infty } \left ( \frac {1}{2n} \right )^2 = \sum_ {n=1}^{ \infty } \frac {1}{n^2} - 2 \sum_ {n=1}^{ \infty } \left ( \frac {1}{2n} \right )^2 = \ldots = \frac { \pi ^2}{12}$$

Quiero saber los detalles de la $ \ldots $ parte.

Answer 1

La serie puede escribirse como $$\sum _0 ^{\infty}\left(\frac {1}{2n+1}\right)^2-\sum _1 ^{\infty}\left(\frac {1}{2n}\right)^2=\sum _1 ^{\infty} \frac {1}{n^2}-2\sum _1 ^{\infty}\left(\frac {1}{2n}\right)^2$$ Sumando y restando: $\sum _1 ^{\infty} \left(\frac {1}{2n}\right)^2$

Parte editada :-

$$\sum _0 ^{\infty}\left(\frac {1}{2n+1}\right)^2+\sum_1 ^{\infty}\left(\frac {1}{2n}\right)^2-2\sum_1 ^{\infty}\left(\frac{1}{2n}\right)^2$$ Ahora las dos primeras sumas se pueden escribir como $$\sum _1 ^{\infty} \frac {1}{n^2}$$ Así que los dos siguientes se pueden escribir como: $$\frac {1}{2}\sum _1 ^{\infty} \frac {1}{n^2}$$ Ahora conocemos todos los sumandos. Por lo tanto, la respuesta es: $$\frac {\pi ^2}{6}-\frac {\pi^2}{2.6}=\frac {\pi^2}{12} $$

Answer 2

Sugerencia . Se puede ver esto como un valor especial de la función dilogaritmo $$ \text{Li}_2(z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n^2},\qquad |z|\le1, $$ recordando que $$ \text{Li}_2(1)=\frac{\pi^2}6 $$ se puede observar que $$ 2\left(\text{Li}_2(z)+\text{Li}_2(-z)\right)=\text{Li}_2(z^2) $$ dando, poniendo $z=1$ , $$ \text{Li}_2(-1)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}=-\frac{\pi^2}{12}. $$