Biyección de segmento finito (cerrado) de la línea real a línea verdadera entera

Question

¿Hay un bijection de un segmento finito (cerrado) de la línea real a $\mathbb{R}$? ¿Por ejemplo, hay un bijection de $[0,1]$ $\Bbb{R}$?

¿Si es así, hay un ejemplo sencillo? Si no, ¿por qué?

Answer 1

Hay muchos bijections de un abrir intervalo de $(a, b)\to R$, por ejemplo,

$g(x) = \cot(\frac{\pi}{2}x)$ es un bijection $g: (0, 1)\to \mathbb{R}$.

Ahora, necesitamos encontrar un bijection de la cerrada intervalo de $[a, b]\to R$, mostrando que existe un bijection desde el intervalo cerrado $[a, b]$ para el intervalo abierto $(a, b)$.

Tomando el intervalo: $[0,1]$. Definir $f(x)$ como la siguiente: $$f(x) = \left\{ \begin{array}{1 1} \frac{1}{2} & \mbox{if } x = 0\\ \frac{1}{2^{n+2}} & \mbox{if } x = \frac{1}{2^n}\\ x & \mbox{otherwise} \end{array} \right.$$

A continuación, $f: [0, 1] \to (0, 1)$ es un bijection.

Ahora, componer: $g(f(x)): [1, 0] \to \mathbb{R}$, y su bijection.

Answer 2

Sí. No hay tal función, pero es menos sencillo de lo que uno pensaría.

La razón es que "sencillo" funciones son generalmente continuo, y una función continua de $[0,1]$ tendrían valores de $\pm\infty$ o tendrá un alcance de un intervalo cerrado $[a,b]$ y no en toda la recta real.

Sin embargo, hay formas relativamente sencillas de la eliminación de los dos extremos y, a continuación, puede escribir un bijection de $(0,1)$ $\mathbb R$ $\frac{1-2x}{2x(x-1)}$o alguna otra función que se puede encontrar.

Que componen estas dos bijections le dará un bijection entre el$[0,1]$$\mathbb R$. Ejemplos para ambas bijections han dado un montón de veces en este sitio antes.