Considere un grupo de $N$ profesores $Y$ de los cuales son llevaba calcetines blancos y $X = N − Y$ a los demás que están usando calcetines negros. En cada paso de tiempo, un profesor es elegido al azar y se ha de poner un nuevo par de calcetines, independientemente del color de los calcetines que está usando actualmente. La probabilidad de que el profesor la elección de un blanco par de calcetines es $p$ y la probabilidad de que él la elección de un negro par de calcetines es $1 − p$, independientemente de que el par de calcetines que anteriormente estaba usando.
a) ¿Cómo puedo derivar una ecuación maestra para el modelo de cómo la probabilidad de $\pi(i,t)$ que $i$ de los profesores son usar calcetines blancos en el momento $t$ cambios a través del tiempo, es decir, cómo de $\pi(i,t+1)$ varía con $\pi(i,t)$, $\pi(i-1,t)$ y $\pi(i+1,t)$?
b) ¿Cómo puedo resolver la ecuación maestra para mostrar que, para $t \rightarrow \infty$, $$ \pi(i) = \left( \begin{array}{c} N\\ i\end{array} \right) p^i (1-p)^{N-i} \;?$$
MI INTENTO
a) $$\begin{align} \pi(i,t+1) = & \pi(i-1,t) P(X\rightarrow Y) + \pi(i+1,t) P(Y\rightarrow X) + \\ & \pi(i,t) P(Y\rightarrow Y) + \pi(i,t) P(X\rightarrow X)\\ = & \pi(i-1,t) p \frac{N-(i-1)}{N} + \pi(i+1,t) (1-p) \frac{i+1}{N} + \\ & \pi(i,t) p \frac{i}{N} + \pi(i,t) (1-p) \frac{N-i}{N} \end{align}$$
¿Crees que esto es correcto?
b)
He tratado de asumir $\pi(i)$ es como dijo, y luego sustituir en el lado derecho de la ecuación maestra me derivados, pero no puedo llegar a una igualdad.
Gracias de antemano por toda la ayuda que puede proporcionar.
