$\phi(\mathbb{P}\ast \mathbb{\dot{Q}})$ tiene propiedad $\mu$ -vinculados y $\mu$ -centrado.

Question

Sea $\mathbb{P}$ sea un poset y $\mathbb{\dot{Q}}$ ser un $\mathbb{P}$ -nombre de un poset.

Si $\phi(\mathbb{P})$ y $\Vdash_{\mathbb{P}} \phi(\mathbb{\dot{Q}})$ entonces $\phi(\mathbb{P}\ast \mathbb{\dot{Q}})$ donde $\phi(x)$ es una de las siguientes propiedades para $\mu$ cardenal infinito:

$(i)$ $x$ es $\mu$ -enlazado.

$(ii)$ $x$ es $\mu$ -centrado.

Alguna idea.

Gracias.

Answer 1

Sólo abordaré (i), ya que (ii) es una ligera modificación de ésta.

(i) Sea $\mathbb P = \bigcup_{\alpha < \mu} L_\alpha$ , $L_\alpha$ vinculado para cada $\alpha \in \mu$ y fijar un $\mathbb P$ -Nombre $\tau$ tal que

$ 1_{\mathbb P} \Vdash \left\{ \begin{array} \ \tau \text{ is a function with domain } \mu, \\ \forall \gamma \in \mu: \tau(\gamma) \subseteq \dot{ \mathbb Q}, \\ \forall x \in \dot{ \mathbb Q} \exists \gamma \in \mu: x \in \tau(\gamma), \\ \forall \gamma \in \mu \forall x,y \ (x,y \in \tau(\gamma) \rightarrow \exists z \in \dot {\mathbb Q}: z \dot \le x \wedge z \dot \le y) \end{array} \right.$

Para $\alpha, \beta, \gamma \in \mu$ deje

$$ L_{(\alpha,\beta,\gamma)}^* = \{ (p,\dot q) \in L_\alpha \times \dot {\mathbb Q} \mid p \Vdash_{\mathbb P} \dot q \in \dot {\mathbb Q}, \exists r \in L_\beta, r \le_{\mathbb P} p, r \Vdash_{\mathbb P} \dot q \in \tau(\gamma)\} $$

• $L_{(\alpha,\beta,\gamma)}^*$ está vinculada:

Sea $(p_0,\dot q_0), (p_1,\dot q_1) \in L_{(\alpha,\beta,\gamma)}^*$ y arreglar $r_0,r_1 \in L_\beta$ s.t. $$ r_i \Vdash_{\mathbb P} \dot q_i \in \tau(\gamma) \text{, for } i=0,1 $$ En $L_{\beta}$ está vinculado, podemos fijar $r \le_{\mathbb P} r_0,r_1$ y (como $1_{\mathbb P} \Vdash_{\mathbb P} \tau(\gamma) \text{ is linked}$ ) $\dot q \in dom(\dot {\mathbb Q})$ s.t. $$ r \Vdash_{\mathbb P} \dot q \dot \le \dot q_i \text{, for } i=0,1 $$ Ahora $(r,\dot q) \le^* (p_0, \dot q_0), (p_1, \dot q_1)$ y $L_{(\alpha, \beta, \gamma)}^*$ se muestra vinculada.

• $\mathbb P \ast \dot {\mathbb Q} = \bigcup\{L_{(\alpha, \beta, \gamma)}^* \mid \alpha,\beta,\gamma \in \mu\}$ :

" $\supseteq$ ": $\checkmark$

" $\subseteq$ ": Que $(p,\dot q) \in \mathbb P \ast \dot {\mathbb Q}$ , digamos $p \in L_\alpha$ . Fijar $r \le_{\mathbb P} p$ , $\gamma \in \mu$ s.t. $$ r \Vdash_{\mathbb P} \dot q \in \tau(\gamma) $$ Sea $\beta \in \mu$ ser s.t. $r \in L_\beta$ . Entonces $(p,\dot q) \in L_{(\alpha, \beta, \gamma)}^*$ y se cumple la afirmación.