¿Cómo mostrar una serie de energía se define?

Question

Una manera que puedo pensar es mediante radio de convergencia. Ya dentro del intervalo de convergencia, la serie converge, es decir, no diverge a $\pm\infty$

Por ejemplo tengo $\cos x=\sum^{\infty}{n=0}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$, que $a{2k}=\frac{(-1)^k}{(2k)!}$ cuando $n$ es uniforme, entonces $R=\lim|\frac{a{n}}{a{n+1}}|=\lim (2n+2)(2n+1)=\infty$, $\cos x$ es convergente para todos los números reales y por lo tanto definido en todas partes.

¿Mi lógica es correcta?

Answer 1

Pero usar prueba de D'alembert para la serie numérica.

$$\lim_{n\to+\infty}\frac { | \frac {(-1)^{n+1}x^{2n+2 } }{ (2n+2)! } | }{|\frac { (-1)^nx^{2n}}{ (2n)! } | }$$

$$=0$$

por lo tanto

$R=+\infty$

Answer 2

Su lógica puede ser correcto, pero yo no puedo decir, por lo tanto, compara a esta lógica.

La relación entre dos distinto de cero en términos de la expansión de la es $R = \lim_{n \to \infty} \left|\displaystyle \frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)}\right|$.

$x$ es una constante, y es la entrada de la función. Para cada una de las $x$, como en cuanto a nosotros al tomar el límite con respecto a $n$, $x$ es una constante.

Debido a que la parte inferior converge a $\infty$, el cociente entre dos términos consecutivos converge a cero.

Si la relación entre los términos de una potencia de la serie converge a cero, entonces la serie es convergente para todos los valores de $x$ por la prueba de razón.

Y si la relación converge a un cierto $R$, entonces el radio de convergencia es $\displaystyle \frac{1}{R}$.