Determinar todas las factorizaciones de $f(x)=x$ $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[x]$.

Question

Considere el polinomio $f(x) = x$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[x]$, que se reduce ya que factores como $(3x+4)(4x+3)$.

Determinar todos los factorizations de $f(x)$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[x]$. [Utilizar el Teorema del Resto Chino.]

Estoy teniendo problemas con esto. Sabemos que la factorización de $f(x)$ modulo $(2)$ debe $1 \cdot x$ y el de la factorización de $f(x)$ modulo $(3)$ $1 \cdot x$ desde $f(x)$ es irreducible en estos campos. Por el Teorema del Resto Chino sabemos $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Podemos hacer un homomorphism

\begin{align} \phi: \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[x] &\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x] \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[x] \\ p(x) &\mapsto (p(x)+(2), \ p(x)+(3)). \end{align}

No sé qué hacer a partir de aquí, alguna sugerencia?

Answer 1

$$ \def\Z{\mathbb{Z}} $$

La imagen de $x$ bajo la homomorphism usted le dio es el par $(x, x)$. Desde $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ son los campos, el polinomio $x$ es irreducible sobre ellos (grado), por lo que este par puede ser factorizado en un total de cuatro maneras (donde estamos contando $2x\cdot2$ $x\cdot1$ como diferentes factorizations en $\Z/3\Z$ es decir, no estamos ignorando unidades): $$ (1, 1) \cdot (x, x) \hspace{1pc} (1, 2) \cdot (x, 2x) \hspace{1pc} (1, x) \cdot(x, 1) \hspace{1pc} (x, 2) \cdot (1, 2) $$ Ahora tenemos que levantar estos factorizations a $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[x]$, es decir, invertir la CRT isomorfismo, que es la parte divertida. Tenga en cuenta que bajo el mapa $$ \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \a \Z/2\Z \times \Z/3\Z $$ la imagen de $3$ $(1, 0)$ y la imagen de $4$$(0, 1)$. Por lo tanto, la inversa de este mapa debe ser $(a, b) \mapsto 3a + 4b \mod 6$. Así que nuestro factorizations ascensor: $$ 1\cdot x \hspace{1pc} 5(5x) \hspace{1pc} (3 + 4x)(3x + 4) \hspace{1pc} (3x+2)(3+2x). $$ (De nuevo, dos de estos factorizations sólo se diferencian por la unidad de $5 \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, por lo que probablemente debería ser considerado como el mismo.)