Composición de función medible y función continua

Question

Dado un ejemplo de función continua $\phi$ y una función medible de Lebesgue $F$ . ambos definidos en $[0,1]$ , de tal manera que $F\circ\phi$ no es medible por Lebesgue.

Answer 1

Este es un ejemplo, tomado de aquí :

Dejemos que $f:[0,1]\to \mathbb R$ sea la función de Cantor. Tiene un rango $[0,1]$ . Definir la función $g:[0,1]\to \mathbb R$ por $g(x)=x+f(x)$ . La función $g$ tiene alcance $[0,2]$ es continua e inyectiva en $[0,1]$ y tiene una inversa continua en su rango. También mapea el conjunto de Cantor $C\subset [0,1]$ a un conjunto de medidas $1$ es decir $m(g(C))=1$ . Desde $m(g(C))=1$ existe un conjunto no medible $D$ contenida en $g(C)$ . Entonces $E= g^{-1}(D)$ está contenida en $C$ por lo que tiene medida cero. Definir $h$ para ser la función característica de $E$ . Entonces $h$ es medible en $[0,1]$ pero $h(g^{-1})$ es la función característica no medible del conjunto no medible $D$ .

Como se ha señalado, originalmente este ejemplo fue tomado del libro de Dover "Counterexamples in Analysis" de Gelbaum/Olmsted. Espero que esto ayude.