¿Una órbita racional que es probadamente densa en los reales?

Question

Iterar el mapa $\ \ x\ \mapsto\ x-\frac{1}{x},\ \ $ la órbita del punto inicial $2$ es "probablemente" denso en $\mathbb{R}$ . ¿Existe un mapeo racional explícito junto con un racional inicial cuya órbita es Es demostrable que denso en $\mathbb{R}$ ?

NB : "Mapeo racional" significa aquí simplemente una función de racionales a racionales, no el definición en geometría algebraica .

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EDIT: ¿Funciona el siguiente enfoque? ...

El responder a otra pregunta publicada demuestra que con $$f(x)=\dfrac1{2 \lfloor x \rfloor -x+1}$$ la órbita racional $$1,\ f(1),\ f(f(1)),\ ...,\ f^n(1),\ ...$$ es el Secuencia de Calkin-Wilf que contiene cada racional positivo exactamente una vez, y por lo tanto es denso en $\mathbb{R^+}$ .

Pregunta: ¿Se puede demostrar que en esta secuencia de Calkin-Wilf el incluso -Los racionales de índice por sí solos son densos en $\mathbb{R^+}$ y lo mismo para el impar -¿Indice de racionales?

Si es así, entonces, observando que $f(0)=1$ podemos obtener una órbita racional que es probadamente densa en el conjunto de $\mathbb{R}$ simplemente tomando $$0,\ g(0),\ g(g(0)),\ ...,\ g^n(0),\ ...$$ con $$g(x) = \begin{cases} -f(x) & \text{if }x\ge 0 \\ f(-x) & \text{if }x<0 \end{cases}$$ así que $$g^n(0) = \begin{cases} f^n(0) & \text{if }n\text{ is even} \\ -f^n(0) & \text{if }n\text{ is odd}. \end{cases}$$

Answer 1

Se parte del teorema de que para cualquier irracional $\mu \in (0,1)$ el conjunto $$ \{2^k \mu\} : k \in \Bbb{N} $$ donde (siguiendo las matemáticas concretas de Knuth) la notación $\{x\}$ significa la parte fraccionaria de $x$ ( $ \equiv x-\lfloor x \rfloor$ ) es denso en $(0,1)$ .

Ahora mira el mapa $$ x \mapsto \frac{x - \frac{1}{x}}{2} $$ con algún punto inicial $x_0$ . La ecuación de este mapa se parece mucho al ejemplo que das. Pero esa $2$ en el denominador hace un par de cosas:

• $x_n$ es el $n$ -que obtendrías si trataras ingenuamente de encontrar $\sqrt{-1}$ utilizando el algoritmo de Newton con una estimación inicial de $x_0$ .

• Podemos expresar el valor de $x_n$ en forma cerrada (se lo atribuyo a Carl Bender en un curso en el MIT en 1973 más o menos, pero por supuesto puede haberse conocido mucho antes):

$$ x_n = \cot \left( 2^n \cot^{-1}x_0 \right)$$

Pero mientras $\cot{-1}x_0$ no es un múltiplo racional de $2\pi$ por el teorema anterior el conjunto $$ \{2^k \cot^{-1}x_0\} : k \in \Bbb{N} $$ es denso en $(0,2\pi)$ .

Así, el conjunto de valores de $x_k$ es el conjunto de cotangentes de un conjunto denso sobre el círculo; a su vez, el conjunto de valores de $x_k$ es denso en la línea real. Un ejemplo es un valor inicial de $x_0 = 2$ .