La suma de los dígitos en $9 k$ (donde $k$ es un entero) es un múltiplo de $9$: por ejemplo
$$9\cdot 1=9$$ $$9\cdot 7=63 \qquad \text{and } 6+3=9\cdot 1$$ $$9\cdot 11=99 \qquad \text{and } 9+9=9\cdot 2$$
¿Pero por qué?
Respuestas
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Un entero $9k$ (donde $k\in\Bbb{Z}$) puede ser escrito como %#% $ $$9k=n_1+10n_2+100n_3+\cdots$ #% dónde están las cifras de $n_1,n_2,\cdots$. Ejemplo: $9k$ $ Factoring, $$9\cdot145=1305=5\cdot1+10\cdot0+100\cdot3+1000\cdot1$ $ $$9k=(n_1+n_2+n_3\cdots)+(9n_2+99n_3+999n_4+\cdots)$ $ $$=(n_1+n_2+n_3\cdots)+9(n_2+11n_3+111n_4+\cdots)$ $ donde $$=\sum{\textrm{digits of 9}}+9x$ es un número realmente no necesita saber. Así, $x\in\Bbb{Z}$ $ desde $$\sum{\textrm{digits of 9}}=9k-9x=9(k-x)$ y $(k-x)\in\Bbb{Z}$ $
Nota: Si no utiliza números de base 10, luego 9 no tienen esta propiedad de "magia". Si trabajamos en base 14 o algo, 13 tendría esta propiedad especial
Berci
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Es debido a $10$ da $1$ resto al dividir por $9$. Esto puede ser expresado por la notación general de 'congruencia' $$10\equiv 1\pmod9$$ (que expresa que estos dos números dan el mismo resto al dividir por $9$).
Entonces, fácilmente se desprende de la propiedad de estas congruencias que se comportan como la igualdad con respecto a la adición y la multiplicación, que $10^n\equiv 1^n=1\pmod9$.
Alternativamente, de curso $10^n$ también dará resto $1$ modulo $9$, mientras que el número de $99\dots9$ es divisible por $9$.
Ahora, un número $n=\overline{abc\dots}$ es sólo $n=\left(((a\cdot10+b)\cdot10+c)\cdot 10+\dots\right)$, por lo que el modulo $9$ tenemos la siguiente congruencia: $$n\equiv \left(((a\cdot 1+b)\cdot1+c)\cdot1+\dots\right)=a+b+c+\dots,$$ es decir, $n$ da el mismo resto modulo $9$ como la suma de sus dígitos. En particular, da resto $0$ (divisible por $9$) iff la suma de sus dígitos es divisible por $9$.
