Sea $(\Omega,\mathcal{F},P)$ sea un espacio de probabilidad, es decir $\Omega$ es un conjunto no vacío, $\mathcal{F}$ es una sigma-álgebra de subconjuntos de $\Omega$ y $P:\mathcal{F}\to [0,1]$ es una medida de probabilidad sobre $\mathcal{F}$ . Supongamos ahora que tenemos una función $X:\Omega\to\mathbb{R}$ y queremos "medir" la probabilidad de $X$ perteneciente a algún subconjunto de $\mathbb{R}$ . Es decir, queremos asignar la probabilidad a conjuntos de la forma $$\{X\in A\}:=X^{-1}(A)=\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\in A\}$$ para los conjuntos de Borel $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ . Para que esto tenga sentido, debemos asegurarnos de que $\{X\in A\}\in\mathcal{F}$ para todos $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ de lo contrario no podemos asignarle una probabilidad (recordemos que $P$ es sólo definido en $\mathcal{F}$ ).
En $X:\Omega\to\mathbb{R}$ cumple que $X^{-1}(A)\in\mathcal{F}$ para todos $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ decimos que $X$ es $(\mathcal{F},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ -medible o sólo $\mathcal{F}$ -medible cuando no hay posibilidad de confusión. Así, para una variable aleatoria $X$ tiene sentido asignar la probabilidad a cualquier conjunto de la forma $\{X\in A\}$ y esto define el distribución de $X$ : $$ P_X(A):=P(\{X\in A\}),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}). $$ Obsérvese que variable aleatoria es sinónimo de $\mathcal{F}$ -función mensurable.
Si $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ es una variable aleatoria, entonces $\sigma(Y)$ viene dada, por definición, por $$ \sigma(Y)=\sigma(\{Y^{-1}(A)\mid\ A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\}), $$ es decir, la sigma-álgebra más pequeña que contiene todos los conjuntos de la forma $Y^{-1}(A)$ . Otra forma de caracterizar $\sigma(Y)$ es diciendo que es la sigma-álgebra más pequeña que podemos poner en $\Omega$ que hace $Y$ mensurable.
