Explica por qué.

Question

Si$\gcd({a,p})=1$ donde$p\gt2$ es primo y si$a$ tiene una raíz cuadrada módulo p, explique por qué$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \pmod{p}$.

Desearía poder proporcionar algo de trabajo, pero todo lo que he podido encontrar en línea son varios teoremas y pruebas que no parecen aplicarse.

Criterio de Euler:

Si p es un número primo impar y p no divide a, entonces$x^2 \equiv a \pmod{p}$ tiene una solución o no tiene una solución dependiendo de si$a^\frac{p-1}{2}\equiv1$ o$-1\pmod{p}$.

Answer 1

Como$a\equiv x^2 \pmod p \text{ for some }x \ $ obtenemos$\ a^{\frac{p-1}{2}} \equiv x^{p-1} \pmod p$.

Pero$(a,p)=1 \Rightarrow (x,p)=1 \Rightarrow$ del pequeño teorema de Fermat $x^{p-1} \equiv 1 \pmod p$.

Por lo tanto $\ a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod p$.