Regla del $3\sigma$

Question

Para la distribución normal r.v. $\xi$ hay una regla de $3\sigma$ que dice que $$ \mathsf P\{\xi\(\mu-3\sigma\mu+3\sigma)\}\geq 0.99. $$

Claramente, esta regla no es necesario sostiene para otras distribuciones. Me pregunto si hay límites inferiores para $$ p(\lambda) = P\{\xi\(\mu-\lambda\sigma\mu+\lambda\sigma)\} $$ independientemente de la distribución real de los valores de variable aleatoria $\xi$. Si nos concentramos únicamente en absoluto continua distribuciones, un enfoque ingenuo es considerar el problema variacional $$ \int\limits_{\int\límites xf(x)\,dx \lambda\sqrt{\int\límites de x^2f(x)\,dx-(\int\límites xf(x)\,dx)^2}}^{\int\límites xf(x)\,dx + \lambda\sqrt{\int\límites de x^2f(x)\,dx-(\int\límites xf(x)\,dx)^2}} f(x)\,dx \a\inf\limits_f $$ que puede ser demasiado ingenuo. El otro problema es que dsitributions puede no ser necesario absolutamente continuas.

Así que mi pregunta es si se conocen los límites inferiores para $p(\lambda)$?

Answer 1

En general, esta es la desigualdad de Chebyshev

$$\Pr(|X-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}.$$

La igualdad se logra mediante la distribución discreta $\Pr(X=\mu)=1-\frac{1}{k^2}$, $\Pr(X=\mu-k\sigma)=\frac{1}{2k^2}$, $\Pr(X=\mu+k\sigma)=\frac{1}{2k^2}$. Esto puede ser abordado de manera arbitraria de cerca por una absolutamente continuas de distribución.

Dejando $k=3$, esto le da

$$\Pr(|X-\mu|\geq 3\sigma) \leq \frac{1}{9} \approx 0.11;$$

mientras que dejan $k=10$, esto le da

$$\Pr(|X-\mu|\geq 10\sigma) \leq \frac{1}{100} =0.01.$$

así que estos límites son relativamente suelto, para una distribución normal. Este diagrama (desde mi página aquí) compara los límites. El rojo es de Chebyshev de la desigualdad; el azul es un uno-cola versión de la desigualdad de Chebyshev; verde es una distribución normal; y el rosa es un una cola de la distribución normal.