Anillos henselianos con el mismo campo cociente

Question

Hace poco leí estas notas donde se demuestra (un teorema de Kaplansky-Schilling) que un campo que admite dos valoraciones distintas con respecto a las cuales es henseliano es separablemente cerrado. Un campo henseliano es lo mismo que los datos de un campo $K$ y un anillo de valoración discreta $R \subset K$ que es henseliana (en el sentido de que satisface el lema de Hensel, o que es tal que cada $R$ -de álgebra). Motivado por esto, he aquí una generalización sobre la que tengo curiosidad:

Supongamos que $R_1, R_2 \subset K$ son subredes henselianas distintas e integralmente cerradas de $K$ tal que $K$ es el campo cociente de cualquiera de ellos. ¿Se deduce que $K$ está cerrado por separado? (No estoy asumiendo $R_1, R_2$ son anillos de valoración discretos).

Me gustaría aplicar un argumento similar al de las notas, donde se aplica el teorema de aproximación a la inclusión de $K$ en el producto de las terminaciones. Así que sería como la inclusión de $R = R_1 \cap R_2$ en el producto $\hat{R_1} \times \hat{R_2}$ . Si éste es denso, y si el campo cociente de $R$ es $K$ Entonces creo que hemos terminado ( $K$ es separablemente cerrado) como antes. Es decir, dado un polinomio irreducible separable en $R[X]$ nos aproximamos por algo cercano en el $R_1$ -topología para que siga siendo irreducible sobre $R_1$ y aproximado en el $R_2$ -topología por algo más $R_2$ que obviamente tiene una raíz. La combinación de la irreducibilidad (por la primera aproximación) y el lema de Hensel (por la segunda aproximación) mostrará que el polinomio aproximado debe tener grado uno.

Esto es lo que creo que debe ser cierto para que el argumento funcione:

1. $R = R_1 \cap R_2$ debe ser denso en $\hat{R}_1 \times \hat{R_2}$ (o simplemente en $R_1 \times R_2$ ).
2. El campo cociente de $R$ debe ser $K$ .

No sé si esto es automáticamente cierto, o cuándo lo es (o si mi razonamiento es correcto).

Answer 1

En general la respuesta es no por una razón trivial: la localización de un anillo henseliano es también henseliana. Así, si $R_1$ es un anillo local henseliano de dimensión $>1$ entonces puede elegir $R_2=(R_1)_p$ para un primo no máximo $p$ para obtener un contraejemplo.

Sin embargo, también se sabe que si un campo $K$ lleva dos valoraciones henselianas distintas de rango $1$ es decir, que tenga un grupo de valores incrustado en los reales o, de forma equivalente, que tenga un $1$ -de valoración, entonces $K$ está cerrada de forma separada: Schmidt, F. K. Cuerpos perfectos múltiples. Math. Ann. 108 (1933), l-25.

Así que en su conjetura podría asumir $R_1$ , $R_2$ para ser $1$ -de dimensiones, integralmente cerrados, dominios henselianos con el mismo campo de fracciones. No sé si entonces la conjetura es cierta.