Sé que las dos afirmaciones "Existe un cardinal inaccesible" y "Hipótesis del continuo" son independientes de ZFC. Ahora bien, ¿son esas dos afirmaciones independientes entre sí?
Que pregunta más antigua de la mía está relacionada.
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DanV
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Por supuesto. Es coherente que si existe un inaccesible que CH sostiene, y que falla. Los cardinales inaccesibles son compatibles con $V=L$ en el que CH se mantiene; y añadiendo $\aleph_2$ reales viola la CH pero no cambia el hecho de que $2^{\aleph_0}$ está por debajo de lo inaccesible. Se puede comprobar y ver que, aparte de la continuidad, no se han cambiado los conjuntos de energía.
Por supuesto, también es coherente con la CH que no haya grandes cardenales. Si hay un cardinal inaccesible, hay uno mínimo. En $V=L$ podemos truncar el universo en el menos inaccesible para tener un modelo de ZFC+CH en el que no hay grandes cardinales.
Nótese, sin embargo, que la suposición de CH es equiconsistente con su negación, como muestran los trabajos de Godel y Cohen; mientras que esto no es cierto para la existencia de grandes cardinales. La afirmación de que existe un inaccesible es estrictamente más fuerte que la afirmación de que no hay ninguno.
Aquí es donde tenemos que cubrirnos bastante. En realidad, no se sabe si los grandes supuestos cardinales son relativamente consistentes con la ZFC. Además no puede probar que los grandes cardinales son relativamente consistentes con ZFC sin trascender a la propia ZFC; es decir, demostrando la consistencia relativa desde una metateoría más fuerte que ZFC.
Pero sigamos adelante y asumamos (como es la moda actual) que los grandes supuestos cardinales son consistentes.
Nótese que hay un teorema de Levy y Solovay que dice que los cardinales grandes son inmunes a las "extensiones de forzamiento leve". Con un poco más de detalle, si $\kappa$ es un cardinal inaccesible, y $P$ es una noción forzada de cardinalidad menor que $\kappa$ entonces $\kappa$ permanece inaccesible después de forzar con $P$ . (Nótese que "inaccesible" puede sustituirse en todas partes en lo anterior por "Mahlo", o "medible", o "débilmente compacto", o "Ramsey", etc.).
De esto se deduce que después de añadir, digamos, $\aleph_2$ reales de Cohen sobre un modelo de "ZFC + CH + $\exists$ inaccesible" nos quedamos con un modelo de "ZFC + $\neg$ CH + $\exists$ inaccesible". Del mismo modo, existe una noción de forzamiento suave de la que se obtiene CH: esencialmente la familia de todas las funciones parciales contables $\omega_1 \to \mathbb{R}$ .
