característica positiva y varias raíces

Question

Yo no puedo entender a una prueba en Milne, la proposición 2.12 en la pag 29. En particular, no puedo probar la implicación $c)\Rightarrow d)$ donde:

c) $F$ tiene características de las $p\neq 0$ $f$ es un polinomio en a $X^p$ ;

d) todas las raíces de $f$ son múltiples

Supongamos $f(X)=g(X^p)$ $g(X)=\displaystyle\prod_i(X-a_i)^{m_i}$ en algunos extensión de $K$$F$. Entonces $$f(X)=g(X^p)=\displaystyle\prod_i(X^p-a_i)^{m_i}=\displaystyle\prod_i(X-\alpha_i)^{pm_i}$$ donde $\alpha_i^{p}=a_i$

Bien, mi pregunta es: ¿quién me asegura que ese $\alpha_i$ existe? Este es el caso cuando se $F$ es finito, por lo que el $F=F^p$, pero no tengo esta hipótesis!

Answer 1

Si no están ya en $K$ (como cuando se $F$ por lo tanto$ K$ son finitos), el $\alpha_i$ son en algunos extensión de $L$ o $K$.

Por ejemplo, escoja $F = \Bbb F_p(X^p)$. El polinomio $Y^p - X^p$ $F[Y]$ $p$ repite raíces en la extensión de $L = \Bbb F_p(X)$ $F$ desde $Y^p - X^p = (Y-X)^p$