¿Qué es el espacio de homotopy clases de mapas de $S^1\times S^{n+1}\to S^n$? Hay una manera simple de calcular, si conocemos $[S^{n+1}, S^n]\simeq\mathbb{Z}^2$ (resp. $\mathbb{Z}$ $n=2$)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí un intento suponiendo que usted está interesado en unbased homotopy clases de mapas.
Deje $[X,Y]$ denotar basado homotopy clases de mapas, entonces lo que estamos buscando es el espacio $[S^1_+ \wedge S_+^{n+1},S^{n}]$ \begin{align} [S^1_+ \wedge S_+^{n+1},S^{n}] &= [S^{n+1}_+,Maps(S^1_+,S^n)] \end{align}
$Maps(S^1_+,S^n)$ es el bucle libre espacio de $LS^n$.
Tenemos una división fibration $\Omega S^n \rightarrow LS^n \rightarrow S^n$, la división es a través de la inclusión de $S^n$ $LS^n$ como constante de bucles.
Cuando $n>2$, $LS^n$ simplemente se conecta y tenemos \begin{align*} [S^{n+1}_+,LS^n] &= [S^{n+1},LS^n]\\ &=\pi_{n+1}(LS^n)\\ &=\pi_{n+1}(\Omega S^n) \oplus \pi_{n+1}(S^n)\\ &=\pi_{n+2}(S^n) \oplus \pi_{n+1}(S^n) \end{align*}
Para $n=1$ tenemos $$[S^2_+,LS^1] = [S^2_+,S^1 \times \mathbb{Z}] = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $$ (ver http://mathoverflow.net/a/149664/29548)
No está seguro de lo que sucede, por $n=2$.
