Demuestra que en un espacio métrico discreto, cada subconjunto está abierto y cerrado.

Question

Necesito probar que en un espacio métrico discreto, cada subconjunto está abierto y cerrado. Ahora, tengo problemas para imaginar cómo se ve este espacio. Creo que contiene de todas las secuencias que contienen unos y ceros.

Ahora, para probar que cada subconjunto está abierto, mis libros dicen que

$A \subset X $

$A$ está abierto si $\, \forall x \in A,\, \exists\ , \epsilon > 0$ entonces $B_ \epsilon (x) \subset A$

Estaba pensando que como la A también contendrá sólo ceros y unos, debe estar abierta. ¿Podría alguien ayudarme a planchar los detalles? =)

Answer 1

La métrica discreta sólo dice que $$d(x,x)=0$$ $$d(x,y)=1,\ x\neq y$$

Digamos que su bola tiene un radio $r$ . Si $r<1$ entonces el único punto que contiene es el punto en el que está centrado. Por tanto, cualquier punto tiene una bola de cierto radio a su alrededor que sólo contiene ese punto. Esto es lo mismo que $B_{0<r<1}(x)=\{x\}$ para que sepamos que cada singleton está abierto. Y ahora sí que hemos terminado. Como ahora sabemos que cualquier punto $x$ en un conjunto $A$ tiene una bola que la contiene, porque siempre podemos construir una bola que sólo contenga $x$ ¡! Como todos los conjuntos son abiertos, sus complementos también lo son. Esto implica que todos los conjuntos son también cerrados.

Answer 2

En un espacio discreto, toma $\epsilon=\frac{1}{2}$ . Entonces la bola sólo contiene el propio punto, por lo que es un subconjunto de $A$ . Todo subconjunto es cerrado porque el complemento de un conjunto abierto es cerrado.

Answer 3

Sugiero una nueva perspectiva: pienso en un espacio métrico discreto como una colección de partículas, todas ellas separadas entre sí. Las partículas son los puntos del espacio, y "separados" significa que $d(x,y)\geq D>0$ para cualquier partícula diferente $x$ y $y$ . Normalmente la definición de un espacio métrico discreto es que la distancia entre dos puntos cualesquiera es $1$ pero esto es sólo un modelo (y de hecho cualquier espacio métrico con $d(x,y)\geq D>0$ para todos $x\ne y$ es homeomorfo al espacio métrico discreto sobre el mismo número de puntos, y sólo nos interesan las cosas topológicas, así que no importa que no sean isométricas).

Ahora debería estar claro cómo, para cada punto, tomar una bola abierta que consiste sólo en ese punto, demostrando que los puntos son abiertos. La respuesta de Will da algunas pistas sobre cómo esto implica el resultado que quieres.

Answer 4

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico. Supongamos que $A \subset X$ . Dejemos que $ x\in A$ sea arbitraria. Configurando $r = \frac{1}{2}$ entonces si $a \in B(x,r)$ tenemos $d(a,x) < \frac{1}{2}$ lo que implica que $a=x$ y por tanto a está en A. (1)

Para demostrar que A es cerrado. Basta con observar que el complemento de A es un subconjunto de X y por (1), es abierto por lo tanto A debe ser cerrado.