¿Cómo puedo entender y demostrar las "fórmulas de suma y diferencia" en trigonometría?

Question

Las fórmulas de "suma y diferencia" a menudo son útiles, pero no es inmediatamente obvio que sean verdaderas.

\begin{align} \sin(\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha \pm \beta) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \end{align}

Entonces lo que quiero saber es,

1. ¿Cómo puedo demostrar que estas fórmulas son correctas?
2. Más importante aún, ¿cómo puedo entender intuitivamente estas fórmulas?

Idealmente, busco respuestas que no hagan referencia al Cálculo, ni a la fórmula de Euler, aunque se animan tales respuestas por completitud.

Answer 1

Aquí están mis diagramas favoritos:

Dados los diagramas, hay ciertas restricciones en los ángulos involucrados: ni el ángulo, ni su suma, pueden ser mayores de 90 grados; y ni el ángulo, ni su diferencia, pueden ser negativos. Sin embargo, los diagramas se pueden ajustar para superar estos límites. (Ver, por ejemplo, esta respuesta.)

Aquí hay una rima mnemotécnica extra (que probablemente no es tan emocionante de leer como de escuchar):

Seno, Coseno, Signo, Coseno, Seno!
Coseno, Coseno, Co-Signo, Seno, Seno!

La primera línea encapsula las fórmulas del seno; la segunda, del coseno. Simplemente coloca los ángulos (en orden $\alpha$, $\beta$, $\alpha$, $\beta$ en cada línea), y sabe que "Signo" significa usar el mismo signo que en el argumento compuesto ("+" para la suma de ángulos, "-" para la diferencia de ángulos), mientras que "Co-Signo" significa usar el signo opuesto.

Answer 2

El hecho clave aquí es que la rotación es una transformación lineal, por ejemplo, la rotación de $u + v$ es la rotación de $u$ más la rotación de $v. Deberías dibujar un diagrama que muestre esto cuidadosamente si no lo crees. Eso significa que una rotación está determinada por lo que hace a $(1, 0)$ y a $(0, 1)$.

Pero $(1, 0)$ rotado por $\theta$ grados en sentido antihorario es simplemente $(\cos \theta, \sin \theta)$, mientras que $(0, 1)$ rotado por $\theta$ grados en sentido antihorario es simplemente $(-\sin \theta, \cos \theta) (Nuevamente, dibuja un diagrama). Esto significa que una rotación por $\theta$ está dada por una matriz $2 \times 2$ con esas entradas. (Las matrices no funcionan aquí todavía).

Entonces toma una rotación por $\theta$ y otra por $\theta'$, y multiplica las matrices correspondientes. Lo que obtienes son las fórmulas de suma de senos y cosenos. (La conexión con números complejos es que se pueden representar números complejos como matrices reales $2 \times 2).

Además, si crees que $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$, esto implica la fórmula de diferencia de ángulos de coseno cuando $a$ y $b$ son vectores unitarios. Lo mismo para el producto cruzado y la fórmula de diferencia de ángulos de seno.

Answer 3

Aunque las derivaciones estándar de la escuela secundaria no son la forma más útil de recordarla a largo plazo, aquí hay otra que me gusta porque puedes "verla" directamente sin mucha álgebra.

Sea P el punto en el círculo unitario obtenido rotando (1,0) por un ángulo θ. Deja caer una perpendicular N a la línea -rotada, y R al eje x. Así que en el triángulo rectángulo ONP, ves que ON = cos β. Puedes ver que el ángulo RPN es α también: es el complemento de PNQ, y por lo tanto, QNO = α. Ahora,

$\sin(\alpha + \beta) = \mbox{PR} = \mbox{PQ} + \mbox{QR} = \sin(\beta)\cos(\alpha) + \cos(\beta)\sin(\alpha)$, y

$\cos(\alpha + \beta) = \mbox{OR} = \mbox{OM} - \mbox{RM} = \cos(\beta)\cos(\alpha) - \sin(\beta)\sin(\alpha)$.

Answer 4

Puedes usar la representación compleja,
$\cos(x) = \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{-ix})$
$\sin(x) = \frac{1}{2i}(e^{ix} - e^{-ix})$
y las reglas para potencias ($a^{x+y}=a^x a^y$)

Answer 5

Hay varias derivaciones típicas utilizadas en textos de secundaria. Aquí hay una:

diagrama http://www.imgftw.net/img/400545892.png

Tomemos dos puntos en el círculo unitario, uno una rotación de (1,0) por α, el otro una rotación de (1,0) por β. Sus coordenadas se muestran en el diagrama. Sea c la longitud del segmento que une esos dos puntos. Por la Ley de los Cosenos (en el triángulo azul), $c^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos(\alpha-\beta)$. Utilizando la fórmula de distancia, $c=\sqrt{(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2}$. Elevando al cuadrado esto último y igualando los dos, $1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos(\alpha-\beta)=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2$. Simplificando ambos lados, $2-2\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta$ $=2-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta$ (utilizando la identidad pitagórica). Resolviendo para $\cos(\alpha-\beta)$, $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.

A partir de esta identidad, las otras tres se pueden derivar sustituyendo $\frac{\pi}{2}-\alpha$ por α (da sin(α+β)), luego -β por β (da las otras dos restantes).

En cuanto a entender las fórmulas intuitivamente si aceptas que al multiplicar por un número complejo $z_\theta$ donde |z|=1 rota por θ, entonces puedes pensar en qué sucede cuando multiplicas $z_\alpha=\cos\alpha+i\sin\alpha$ y $z_\beta=\cos\beta+i\sin\beta$ (al expandir el producto binomial), lo cual debería resultar en $\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)$.