Cuando es el functor $\otimes:\mathcal{C}^\omega\times\mathcal{C}^\omega$ es monoidal functor?

Question

Es cierto que, a la pregunta del título no es todavía una pregunta precisa, por lo que tengo que hacer una pregunta precisa. Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría monoidal, con monoidal producto, $\otimes$. Vamos a dejar que $\omega$ el conjunto finito de números ordinales considerado como una categoría donde el orden en los ordinales finitos da la necesaria homsets. La categoría, $\mathcal{C}^\omega$, luego está la categoría de los diagramas de la forma, $$X_0\to X_1\to X_2\cdots,$$ and the morphisms are a sequence of maps, making the evident squares commute. Now let us define a category, which we will denote $P_n$. This will be the full subcategory of $\omega\times\omega$ such that every object, $(p,q)$ satisfies the condition that $p+q\leq n$. Now let $X,Y$ be two objects of $\mathcal{C}^\omega$. We define a functor which we will denote, $F_{X,Y,n}:P_n\a \mathcal{C}$ defined as $F_{X,Y,n}(i,j)=X_i\otimes Y_j$. If $i_1<i_2$, and $j_1<j_2$, then we have maps $\phi:X_{i_1}\a X_{i_2}$ and $\theta:Y_{j_1}\a Y_{j_2}$. Then $F_{X,Y,n}((i_1,i_2)\a (j_1,j_2))$ is the tensor product of the two maps $\phi\otimes\theta$. We then define the tensor product, $(X\otimes Y)_n$ to be $colim\mbox{ }F_{X,Y,n}$. The universal properties of the colimit allows us to show that we have canonical maps, $(X\otimes Y)_n\(X\otimes Y)_{n+1}.$ Mis preguntas son las siguientes:

Si $\mathcal{C}$ es un monoidal functor, (con sólo la asociatividad y unidad de restricciones) es el bifunctor definido en $\mathcal{C}^\omega$ también un monoidal functor? Si no ¿cuáles son algunas de las condiciones necesarias y suficientes en $\mathcal{C}$ a que esto suceda?

Yo también estoy interesado en la misma pregunta si el monoidal producto es trenzado, simétrica y una categoría de producto.

Parte de la motivación para esto es que se generaliza el producto en la categoría de $CW$ complejos y filtrado de los espacios. Me gustaría ver que tan lejos esta construcción puede ser generalizado. Las eventuales referencias que sería bienvenido.

Answer 1

Para definir un tensor de producto en $\omega$-de las secuencias de $(X \otimes Y)_n = \varinjlim_{i+j \leq n} X_i \otimes Y_j$ y preguntar si esta es una estructura monoidal en la categoría de $\omega$-secuencias.

Supongamos que el ambiente categoría monoidal ha (dirigida) colimits y que el producto tensor mantiene estos colimits en cada variable (tenga en cuenta que este es no es el caso para $\mathsf{Top}$, debemos elegir un conveniente categoría de espacios topológicos como $\mathsf{CGHaus}$). Entonces creo que la respuesta es Sí.

Definir la unidad por $1 := (1 \xrightarrow{\mathrm{id}} 1 \xrightarrow{\mathrm{id}} 1 \xrightarrow{\mathrm{id}} \dotsc )$. A continuación, $(X \otimes 1)_n$ es el colimit del diagrama

\begin{array}{c} X_0 & \to & X_1 & \to & \dotsc & X_{n-1} & \to & X_n \\ \downarrow & & \downarrow & & & \downarrow & & \\ X_0 & \to & X_1 & \to & \dotsc & X_{n-1} & \\ \downarrow & & \downarrow & & & & \\ \vdots & & \vdots & & & & \\ X_0 & \to & X_1 & \\ \downarrow &\\ X_0 & \end{array}

que es, obviamente,$X_n$. Esta muestra $X \otimes 1 \cong X$, claramente natural en $X$. Un argumento similar muestra $1 \otimes X \cong X$. Ahora vamos a $X,Y,Z$ ser secuencias. Entonces tenemos

$ (X \otimes (Y \otimes Z))_n =\varinjlim_{i+j \leq n} \bigl(X_i \otimes \varinjlim_{p+q \leq j} (Y_p \otimes Z_q)\bigr) = \varinjlim_{i+j \leq n} \varinjlim_{p+q \leq j} X_i \otimes (Y_p \otimes Z_q)$

$= \varinjlim_{i+j \leq n,~~ p+q \leq j} X_i \otimes (Y_p \otimes Z_q) = \varinjlim_{i+p+q \leq n} X_i \otimes (Y_p \otimes Z_q)$

donde en el último paso hemos utilizado un cofinality argumento. Ahora podemos utilizar la natural isomorphisms $X_i \otimes (Y_p \otimes Z_q) \cong (X_i \otimes Y_p) \otimes Z_q$ a aplicar el mismo argumento hacia atrás para conseguir un isomorfismo $(X \otimes (Y \otimes Z))_n \cong ((X \otimes Y) \otimes Z)_n$. Uno comprueba fácilmente que estas isomorphisms son naturales en $n$, por lo que el $X \otimes (Y \otimes Z) \cong (X \otimes Y) \otimes Z$, que es también claramente natural en $X,Y,Z$. Ahora uno tiene que trabajar para que la coherencia diagramas conmutan. Pero estos son sólo colimits de la correspondiente coherencia de los diagramas en la categoría monoidal. No voy a detallar aquí los detalles. Esta construcción también funciona para trenzada o de monoidal simétrica categorías.

Más generalmente, si $N$ es una pequeña categoría monoidal y $\mathcal{C}$ es una categoría monoidal con colimits que distribuir sobre el producto tensor, entonces la categoría de functors $C^N$ es de nuevo una categoría monoidal con la estructura monoidal dada por

$(X \otimes Y)_n = \varinjlim_{i \otimes j \to n} X_i \otimes Y_j.$

Creo que esto es bien conocido, pero lamentablemente no conozco una referencia. Tal vez alguien puede agregar una referencia. Es algo similar, pero no idéntica - a Día de convolución.