La serie de $\frac{1}{\cosh(z)}$

Question

Cómo mostrar que

$$\frac{1}{\cosh(z)} =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left( -1 \right)^{n}\left(\psi \left( 2\,n,\frac{3}{4}\right)-\psi \left( 2\,n,\frac{1}{4} \right) \right) {z}^{2\,n}}{ {4}^{n}{\pi }^{2\,n+1}\left( 2\n \right) !}},$$

donde $\psi$ es un polygamma función?

Hay tal vez algún tipo de vínculo con una respuesta, o un libro en el que los de arriba se muestra?

Answer 1

Comúnmente conocido, la expansión $$\frac{1}{\cosh(x)}=\sum_{n=0}^\infty E_n \frac{t^n}{n!}$$

con $E_n$ los números de Euler (ver aquí o definición de aquí).

Con el fin de comprender el fundamento de los cálculos a partir de aquí, tengo que referir directamente con el siguiente artículo de Kölbig que analiza profundamente la relación entre los números de Euler y la polygamma función de $\psi^{(k)}(x)$ $x=\frac{1}{4}$ $x=\frac{3}{4}$ . Esta es una norma del artículo que se cita a menudo.

Sin embargo, entonces usted va a necesitar otro de referencia dado que el cálculo no es trivial: existen profundas relaciones fundamentales entre la Dirichlet $\beta$-función de Euler números, y Riemann $\zeta$-función para enteros positivos; muestra de ello es Idowu en otra norma del artículo donde el autor basado en el trabajo de Kölbig y un artículo anterior muestra que los números de Euler $(E_{2k})$ se relacionan en el esquema anterior, que tiene, a la polygamma función de $\psi^{(2k)}(x)$ $x=\frac{1}{4}$ $x=\frac{3}{4}$ , ver el resultado final, en la última página de la ecuación 3.3.

Así que como puedes ver la respuesta a su pregunta no es trivial y se necesita un poco más de elaboración y estudio por sí mismo en los detalles. Pero los artículos anteriores deberá entregar a la fundación.