Tropecé con este ismorfismo en el contexto de las fibras de torsión. Ver por ejemplo "Twistors in Mathematics and Physics" de Bailey y Baston, p.58. ¿Puede alguien proporcionar una construcción de este isomorfismo?
Respuesta
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Fredrik
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26
Prueba esbozada: $$ \mathbb {H}^2/ \mathbb {C}^{ \times }~ \cong ~ \mathbb {C} \mathbb {P}^3~ \stackrel {?}{ \cong }~SO(5)/U(2)$$ $$~ \cong ~ [SPIN(5)/ \mathbb {Z}_2]/\{[U(1) \times SU(2)]/ \mathbb {Z}_2\}$$ $$~ \cong ~ SPIN(5)/[U(1) \times SU(2)]$$ $$~ \cong ~ U(2, \mathbb {H})/[U(1) \times U(1, \mathbb {H})], \tag {1}$$ porque $$ SPIN(5)~ \cong ~U(2, \mathbb {H}), \qquad U(2)~ \cong ~[U(1) \times SU(2)]/ \mathbb {Z}_2 \qquad SU(2)~ \cong ~U(1, \mathbb {H}), \tag {2} $$
cf. p. ej. este Math.SE post y este & este Física. Posiciones del SE.
Quitar un $U(1)$ fase, es suficiente para probar
$$ \mathbb {H}^2/ \mathbb {R}_+~ \stackrel {?}{ \cong }~U(2, \mathbb {H})/ U(1, \mathbb {H}). \tag {3}$$
El lado derecho de la ecuación. (3) consiste en
$$U(2, \mathbb {H})~ \cong ~ \left\ { \left.\begin {pmatrix} \alpha a & \beta b \cr \beta c & \alpha d \end {pmatrix} \right | a,b,c,d \in U(1, \mathbb {H}), ~ \bar {a}b+ \bar {c}d=0,~ \alpha , \beta\in\mathbb {R}_+,~ \alpha ^2 + \beta ^2=1 \right\ } , \tag {4}$$
mientras que el lado izquierdo de la ecuación. (3) consiste en $$ \mathbb {H}^2/ \mathbb {R}_+~ \cong ~ \left\ { ( \alpha a , \beta b ) \in \mathbb {H}^2 \mid a,b \in U(1, \mathbb {H}),~ \alpha , \beta\in\mathbb {R}_+,~ \alpha ^2 + \beta ^2=1 \right\ }. \tag {5}$$
