Integral pregunta: $\displaystyle\int \frac{x^{n-2}}{(1 + x)^n} {\rm d}x$

Question

¿Cómo se integraría el siguiente?

$$\int \frac{x^{n-2}}{(1 + x)^n} {\rm d}x~$$ where $$ %n es un entero positivo.

Answer 1

Me gustaría hacerlo con la siguiente sugerencia:

$$\int\frac{x^{n-2}}{(1+x)^n}dx=\int\frac{x^{n-2}}{(1+x)^2(1+x)^{n-2}}dx=\int\frac{1}{(1+x)^2}(1-\frac{1}{1+x})^{n-2}dx$$

Answer 2

$$\int {x^{n-2} \over (1+x)^n} {\rm d} x = \int (1+x)^{-2} \left({x \over 1+x}\right)^{n-2} {\rm d} x =\int y^{n-2} {\rm d} y$$

usando la sustitución $y = {x \over 1 + x}$.

Answer 3

Para mí, la forma más natural de empezar es dejando $t=1+x$. Entonces el integral se convierte en $$ \int \frac {(t-1) ^ {n-2}} {t ^ n} dt = \int \left(1-\frac{1}{t} \right)^{n-2} \frac{dt}{t^2}. $$ Entonces que $y=1/t$. O tal vez incluso mejor: $y=1-1/t$, que te lleva de nuevo a respuesta de Marek.

Si hubiera tenido algunos otros poderes que no interactúan bien como $n-2$ $n$, decir $(t-1)^a/t^b$, usted podría ampliado usando el teorema del binomio e integrado término por término.