¿Cuál es el problema de los priores empíricos?

Question

En la literatura, a veces tropiezo con la observación de que la elección de priores que dependen de los propios datos (por ejemplo el g-prior de Zellners) puede ser criticada desde un punto de vista teórico. ¿Dónde está exactamente el problema si la prioridad no se elige independientemente de los datos?

Answer 1

Por lo general, los priores informativos suelen considerarse como su información sobre los parámetros (o hipótesis) antes de viendo los datos. Así que cualquier previo basado en datos está violando la principio de probabilidad ya que la evidencia de la muestra viene a través de la función de verosimilitud y la prioridad.

Answer 2

La noción de espacio proyectivo es sensible para cualquier espacio vectorial V (de dimensión finita o no). Como conjunto, el espacio proyectivo $P(V)$ es simplemente el conjunto de subespacios vectoriales unidimensionales del espacio vectorial. Si se piensa brevemente en ello, cualquier subespacio vectorial unidimensional (o rayo, como los llaman los físicos) está dado por un vector distinto de cero $v$ en $V$ y todos los múltiplos escalares $\lambda v$ de la misma. Obviamente esa descripción no es única, cualquier múltiplo no nulo de $v$ también serviría, por lo que el espacio proyectivo es el cociente

$$P(V) = (V - \{0\})/\equiv$$

donde $v \equiv w$ si existe $\lambda \neq 0$ , de tal manera que $v = \lambda w$ .

En otras palabras, el espacio proyectivo permite hablar de rayos (subespacios vectoriales unidimensionales) en un espacio vectorial. Esto es independiente de si el espacio vectorial es un espacio de Hilbert.

¿Qué papel desempeñan los rayos de un espacio de Hilbert en la mecánica cuántica? Algunos de ellos son estados propios puros de un observable $Q$ . Recordemos que los observables se describen mediante operadores hermitianos autoadjuntos, si $v$ es un vector propio de $Q$ para el valor propio $\lambda$ Es decir $Qv = \lambda v$ Así es $\mu v$ para todos $\mu \neq 0$ . Como es el valor propio real $\lambda$ que es físicamente observable, es realmente el subespacio unidimensional abarcado por $v$ que importa. geométricamente un operador hermitiano autoadjunto $Q$ genera una "rotación" $e^{iQ}$ en el espacio proyectivo de Hilbert, cuyos puntos fijos (generalmente no son realmente puntos) corresponden a los llamados "estados puros".

Además, dado un estado propio de un observable $Q$ , $\vert \phi \rangle$ y un estado arbitrario $\vert \psi\rangle$ la probabilidad de transición de $\vert \psi\rangle$ a $\vert \phi\rangle$ viene dada por $$P(\psi,\phi) = \frac{\langle \phi \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \phi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \langle \phi \vert \phi \rangle}.$$ Evidentemente, este cociente no cambia si $\vert \psi\rangle$ y $\vert \phi\rangle$ se multiplican por números complejos arbitrarios no nulos $\lambda, \lambda'$ .

Más precisamente simetrías de un sistema mecánico cuántico con espacio hilbert $H$ están dadas por una representación del grupo de simetría

$$G \to PU(H)$$

en el grupo unitario proyectivo del espacio de Hilbert, este grupo actúa naturalmente sobre el espacio proyectivo $P(H)$ y no $H$ . El caso más sencillo es el de una partícula no relativista de espín 1/2 en su marco de reposo. La simetría restante del grupo de Gallilei es una representación

$$SO(3) \to PU(H).$$

Resulta que tales representaciones proyectivas están en correspondencia uno a uno con las representaciones de la doble cubierta de $SO(3)$ , $SU(2)$ :

$$SU(2) \to U(H).$$

Desde $SU(2)$ es compacto sus representaciones unitarias son de dimensión finita y su representación irreducible más pequeña se llama representación de espín-1/2, con $H = \mathbf{C}^2.$ Así aprendemos que los estados espaciales de un espín-1/2 en su marco de reposo es

$$P(\mathbf{C}^2) = \mathbf{P}^1(\mathbf{C})$$ también conocida como la esfera de Riemann.

Sin embargo, no ocurre nada misterioso, una vez que se ha elegido un conjunto de estados propios (digamos para el espín en la dirección z $\vert + \rangle, \vert - \rangle$ ) todos los demás estados pueden escribirse como una combinación lineal $$\vert \psi \rangle = w \vert + \rangle + z \vert - \rangle$$ cuando no ambos $w$ y $z$ puede ser cero. Físicamente tampoco importa, si escalamos con $\lambda \neq 0$ . En lenguaje matemático $[w:z]$ se conocen como coordenadas homogéneas del espacio proyectivo $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$

Esto es significativo si consideramos múltiples partículas de espín-1/2, su espacio de Hilbert está dado a partir de principios generales como

$H = H_1 \otimes \ldots \otimes H_n$

donde $\otimes$ es el producto tensorial y el trenzado $H_i \otimes H_{i+1} \to H_{i+1} \otimes H_i$ introduce un signo menos porque las partículas de espín 1/2 son fermiones, es decir $v_i \otimes v_{i+1} = -v_{i+1} \otimes v_i$ (Estos espacios vectoriales también se denominan espacios supervectoriales). Ahora, de nuevo, hay que fijarse en

$$P(H) = P(H_1 \otimes \ldots \otimes H_n),$$

Curiosamente sólo hay una incrustación de

$$P(H_1) \times \ldots \times P(H_n) \to P(H)$$

llamada incrustación de Segre, los productos tensoriales de los estados puros de una partícula no abarcan el espacio de hilbert de múltiples partículas, los estados que no se encuentran en la imagen se conocen como "enredados".

En resumen, una separación precisa del espacio de Hilbert y su proyectivización ayudan a aclarar muchas cuestiones de la mecánica cuántica. No he mencionado el estudio de las representaciones proyectivas irreducibles del grupo de Poincare, por ejemplo, el excelente libro de Weinberg sobre Teoría Cuántica de Campos lo cubre. Las ideas geométricas como la métrica del estudio de Fubini (o la métrica de Bures) también son útiles.