Alguna idea de cómo encontrar $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-\cos(x^2)}}{1-\cos(x)}$ ?

Question

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-\cos(x^2)}}{1-\cos(x)}$$

Estoy tratando de resolver este límite durante 2 días, pero todavía no puedo encontrar la solución que es $\sqrt{2}$ (eso es lo que está escrito en la hoja de soluciones)

He probado a multiplicar con el conjugado, he probado con algunas identidades pero nada por eso $x^2$ en el $\cos$ . Entonces probé L'Hopital porque es $\frac{0}{0}$ y todavía que $\cos$ en la raíz cuadrada está dando problemas. He intentado en la calculadora symbolab pero no puede resolverlo.

Entonces, ¿alguien puede ayudarme a resolver esto? Gracias.

Answer 1

Si se multiplica y se divide por ambos conjugados se obtiene

$$\lim_{x \to 0} \frac{(1+\cos{x})\sin{(x^2)}}{\sqrt{1+\cos{(x^2)}} \space \sin^2{x}}$$

Amplificando para obtener el límite de la forma $\frac{\sin{x}}{x} :$

$$=\lim_{x \to 0} \frac{(1+\cos{x})}{\sqrt{1+\cos{x^2}}} \space \frac{\sin{(x^2)}}{x^2} \space \frac{x^2}{\sin^2{x}}=\frac{2}{\sqrt{2}}*1*1^2=\sqrt{2}$$

Answer 2

Por la regla de L'Hopital, tenemos $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos(x^2)}{(1 - \cos(x))^2} &= \lim_{x \to 0}\frac{2x\sin(x^2)}{2(1 - \cos(x))\sin(x)} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sin(x)}\frac{\sin(x^2)}{1 - \cos(x)} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x^2)}{1 - \cos(x)} \\ \end{aligned}$$ donde hemos utilizado que $$\lim_{x \to 0}\frac{x}{\sin(x)} = 1$$ Ahora podemos aplicar de nuevo la regla de L'Hopital para obtener $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x^2)}{1 - \cos(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{2x\cos(x^2)}{\sin(x)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} 2\cos(x^2) \\ &= \lim_{x \to 0} 2\cos(x^2) \\ &= 2 \end{aligned}$$ Resumiendo lo que tenemos hasta ahora, $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x^2)}{(1 - \cos(x))^2} = 2$$ Ahora toma la raíz cuadrada de ambos lados y utiliza el hecho de que $\sqrt{(\cdot)}$ es continua en cero (nótese que nos acercamos sólo por la derecha) para concluir que $$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1 - \cos(x^2)}}{1 - \cos(x)} &= \lim_{x \to 0}\sqrt{\frac{1 - \cos(x^2)}{(1 - \cos(x))^2}} \\ &= \sqrt{\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x^2)}{(1 - \cos(x))^2} } \\ &= \sqrt{2} \end{aligned}$$ como se desee.

Answer 3

Sólo hay que tener en cuenta que $1-\cos t=2\sin^2(t/2)$ y por lo tanto la expresión bajo límite es igual a $$\frac{\sqrt{2}\sin(x^2/2)}{2\sin^2(x/2)}$$ que puede reescribirse como $$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sin(x^2/2)}{x^2/2}\cdot \frac {x^2}{2}\cdot\frac{4}{x^2}\cdot\frac{(x/2)^2}{\sin^2(x/2)}$$ Utilizar el límite $\lim_{t\to 0}(\sin t) /t=1$ obtenemos el límite deseado como $$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 1\cdot 2\cdot 1^2=\sqrt{2}$$

Answer 4

Si quieres ir más allá del límite en sí, utiliza las series de Taylor y la expansión binomial $$\cos(x^2)=1-\frac{x^4}{2}+\frac{x^8}{24}+O\left(x^{12}\right)$$ $$1-\cos(x^2)=\frac{x^4}{2}-\frac{x^8}{24}+O\left(x^{12}\right)$$ $$\sqrt{1-\cos \left(x^2\right)}=\frac{x^2}{\sqrt{2}}-\frac{x^6}{24 \sqrt{2}}+O\left(x^{10}\right)$$ $$1-\cos(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+O\left(x^6\right)$$ $$\frac{\sqrt{1-\cos(x^2)}}{1-\cos(x)}=\frac{\frac{x^2}{\sqrt{2}}-\frac{x^6}{24 \sqrt{2}}+O\left(x^{10}\right) }{ \frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+O\left(x^6\right)}$$ Ahora, la división larga para obtener $$\frac{\sqrt{1-\cos(x^2)}}{1-\cos(x)}=\sqrt{2}+\frac{x^2}{6 \sqrt{2}}+O\left(x^4\right)$$ que muestra el límite y cómo se aproxima a él.

Para divertirse, utilice su calculadora de bolsillo para $x=\frac \pi 6$ . El valor exacto sería $$2 \sqrt{2} \left(2+\sqrt{3}\right) \sin \left(\frac{\pi ^2}{72}\right)\approx 1.44244$$ mientras que la serie truncada anterior daría $$\frac{432+\pi ^2}{216 \sqrt{2}}\approx 1.44652$$

Answer 5

Un enfoque basado en el hecho de que $$ \lim_{u\to0} \frac{1-\cos u}{u^2} = \frac{1}{2} \tag{1} $$ que es un límite estándar (y equivalente a una expansión de Taylor de $\cos$ para pedir $2$ en $0$ ).

$$ \frac{\sqrt{1-\cos(x^2)}}{1-\cos x} = \sqrt{\frac{1-\cos(x^2)}{x^4}}\cdot\frac{x^2}{1-\cos x} \xrightarrow[x\to0]{}\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\,, $$ aplicando (1) a $u=x^2$ y $u=x$ por separado (para el primero, ya que $x^2\to 0$ cuando $x\to 0$ ).

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Para ser completamente precisos: utilizamos (1) dos veces, y la continuidad de ambas $\sqrt{\cdot}$ y la función inversa en $1/2$ tener $$\lim_{x\to 0} \sqrt{g(x)}\frac{1}{h(x)} = \lim_{x\to 0}\sqrt{g(x)}\lim_{x\to 0}\frac{1}{h(x)} = \sqrt{\lim_{x\to 0}g(x)}\frac{1}{\lim_{x\to 0}h(x)}$$