Es cada holomorphic función en un barrio de el origen de las $C^n$ necesariamente limitada?
En el que caso de que la afirmación puede ser verdadera?
Gracias de antemano
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Tutul
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La respuesta es no. Si la vecindad $U$ es ilimitado, al menos una de las coordenadas de funciones es un contraejemplo.
Si el barrio está delimitado, vamos a $p\in\partial U$ ser un punto de máxima distancia $r$ desde el origen. Deje $l(z) = a_1z_1 + \cdots + a_nz_n + b$ ser afín a la función tal que $l(p)=0$, pero $l(z)\neq 0$$U$. (Elija los coeficientes de modo que el ajuste a cero de $l$ está contenida en el espacio de la tangente de $B_r(0)$.) Por último, vamos a $$f(z) = \frac1{l(z)}.$$
Esta construcción muestra que al menos un punto de $\partial U$ es pseudoconvex.
Por la solicitud de la OP y la clarificación de la pregunta original (ver el comentario del hilo anterior), he aquí mi respuesta:
Pregunta: Vamos a $U$ ser un barrio de la procedencia en $\mathbb{C}^n$. Bajo qué condiciones en $U$ es cada holomorphic de la función en $U$ delimitada?
Respuesta: No existen tales condiciones. Deje $U$ ser un barrio de la procedencia en $\mathbb{C}^n$ y supongamos $U\neq \mathbb{C}^n$ (si $U=\mathbb{C}^n$, luego tomar la identidad de la función). El límite de $U$ $\text{Bd}(U)=\overline{U}\setminus U$ y no está vacío. Deje $a\in \text{Bd}(U)$ y elija la función $\frac{1}{z-a}$. Es holomorphic en $U$, pero sin límites.
Pregunta: Si $f$ es un holomorphic función en un vecindario $U$ de la de origen, entonces ¿existe un subconjunto abierto $V\subseteq U$ tal que $f$ está delimitada en $V$?
Respuesta: Sí, siempre. Eligió un barrio de $V$ de los de origen con cierre compacto tal que $\overline{V}\subseteq U$. Holomorphic funciones son continuas y funciones continuas en conjuntos compactos son acotados. Así, la restricción de cualquier holomorphic de la función en $U$ $V$está acotada.
Espero que esto ayude!
