Las raíces de la ecuación racional, con múltiples variables?

Question

Supongamos que tenemos un polinomio racional en $k$ variables. Sólo estamos interesados en soluciones racionales. Si $k = 1$, en nombre de las variables ${x}$ si $k = 2$, el nombre de ellos ${x,y}$.

Para $k = 1$, se puede hacer muy rápido. El Racional de la Raíz Teorema proporciona un conjunto de candidatos. Pero lo que de $k=2$? ¿Cómo puedo dividir un polinomio en factores en este caso?

Ejemplo: $x^2-y^2$ se debe dividir a $(x-y)(x+y)$.

Post también disponible en http://stackoverflow.com/questions/11922956/roots-of-rational-equation-with-multiple-variables.

Answer 1

Polinomios en más de una variable no suelen dividir en factores, incluso si usted permite coeficientes complejos. Por ejemplo, $x^2 + y^2 - 1$ no se separan de esta manera.

Para polinomios cuadráticos se puede apelar a la Hasse-Minkowski teorema, el Chevalley-Advertencia teorema, y Hensel del lema para determinar cuando existe una solución; este argumento se describe en más detalle en el principio de Cassels' Conferencias sobre Curvas Elípticas.

Más allá de la cuadrática caso, este problema no está abierto. Ya para polinomios cúbicos en dos variables no se sabe si existe un algoritmo que seguramente se soluciona este problema, aunque parece que existen algoritmos que funcionan razonablemente bien en la práctica. Bjorn Poonen del Cómputo de Puntos Racionales en Curvas contiene una buena discusión de los temas. Véase también, por ejemplo, este MO pregunta.

Tenga en cuenta que el Ultimo Teorema de Fermat puede ser formulada como el problema de encontrar puntos racionales en la familia de Fermat curvas de $x^n + y^n = 1$, así que no hay razón para esperar que este es un problema fácil si usted cree que el Último Teorema de Fermat es difícil.